Komplex-hyperbolische ideale Dreiecksgruppe

Komplexe ideale Dreiecksgruppen sind Spiegelungsgruppen zu den idealen Dreiecken der komplex-hyperbolischen Geometrie. Die von Richard Evan Schwartz bewiesene Goldman-Parker-Vermutung beschreibt die diskreten komplex-hyperbolischen Dreiecksgruppen.

Definition

Der ideale Rand der komplex-hyperbolischen Ebene $\mathbb {C} \mathbb {H} ^{2}$ ist die 3-dimensionale Einheitssphäre $S^{3}=\left\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}:\|z\|^{2}+\|w\|^{2}=1\right\}$. Ein ideales Dreieck ist ein $\mathbb {C}$-Dreieck mit Ecken im idealen Rand. Eine komplexe ideale Dreiecksgruppe ist die von den $\mathbb {C}$-Spiegelungen an den Seiten eines idealen Dreiecks erzeugte Gruppe. Die Produkte zweier Erzeuger sind dabei jeweils parabolische Isometrien.

Parametrisierung der komplexen idealen Dreiecksgruppen

Die zu isometrischen idealen Dreiecken gehörenden Spiegelungsgruppen sind konjugiert in $Isom(\mathbb {C} \mathbb {H} ^{2})=PU(2,1)$. Jedes ideale Dreieck lässt sich durch eine geeignete Isometrie $g\in PU(2,1)$ auf ein Dreieck der Form

$(\beta ,{\overline {\beta }}),(\beta ,\beta ),({\overline {\beta }},{\overline {\beta }})$

bringen, wobei

$\beta ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {s+i}{\sqrt {1+s^{2}}}}$

für ein $s\in \left[0,\infty \right)$ ist. (Wegen $\|\beta \|={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ liegen die drei Punkte auf $S^{3}$.) Die idealen Dreiecke und dementsprechend auch die idealen Dreiecksgruppen werden also durch die nichtnegative reelle Zahl $s$ parametrisiert.

Goldman-Parker-Vermutung

Die von Richard Schwartz bewiesene Goldman-Parker-Vermutung besagt, dass eine ideale Dreiecksgruppe genau dann eine diskrete Untergruppe der Isometriegruppe $PU(2,1)$ ist, wenn für den oben beschriebenen Parameter die Ungleichung

$s\leq {\sqrt {\frac {125}{3}}}$

gilt.

Literatur

• W. Goldman, J. Parker: Complex hyperbolic ideal triangle groups, J. Reine Angew. Math. 425, 71–86 (1992)
• Richard Schwartz: Ideal triangle groups, dented tori and numerical analysis, Ann. Math.153, 533–598 (2001)
• Richard Schwartz: A better proof of the Goldman-Parker conjecture, Geom. Top. 9, 1539–1601 (2005)