Kontaminierte Normalverteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die kontaminierte Normalverteilung ist eine besondere Form der Mischverteilung. Sie spielt eine große Rolle in der robusten Statistik bei der Untersuchung statistischer Schätzer und statistischer Tests.

Definition

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Die reelle Zufallsvariable   hat eine kontaminierte Normalverteilung, wenn sich ihre Dichtefunktion   in der Form

 

mit   und  , also als Konvexkombination von zwei Normalverteilungs-Dichtefunktionen darstellen lässt.

Die Verteilungsfunktion   hat dann die Gestalt

 ,

wobei   die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

Erwartungswert und Varianz

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Für den Erwartungswert und die Varianz gilt:

 ,
 .

Oft werden durch zusätzliche Bedingungen wie   Spezialfälle abgeleitet (skalenkontaminierte Normalverteilung).

Beispiel

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Ein Hersteller von elektronischen Geräten benutzt Kondensatoren mit der Kapazität 5 Nanofarad [nF], die er von zwei Herstellern bezieht. Die von A hergestellten zeigen eine etwas geringere Streuung als die vom B. Vom Hersteller A stammen 60 % der bezogenen Kondensatoren, von B 40 %. Man nehme an, im genügend weiten Bereich ist die Kapazität der Kondensatoren von beiden Herstellern normalverteilt mit Parametern  . Sei   und  .

Eine Abweichung von mehr als 10 % vom Sollwert   der Kapazität sei unerwünscht. Es stellt sich daher die folgende Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kondensator eine um mehr als 10 % abweichende Kapazität vom Sollwert aufweist?

 

 

Ein Anteil von zirka 0,000361849 aller Kondensatoren zeigt bezüglich der Kapazität eine höhere Abweichung als 10 %.