Kontraktion (Mathematik)

Eine Kontraktion ist in der Analysis und verwandten Gebieten der Mathematik eine Abbildung einer Menge $M$ in sich selbst, die die Abstände zwischen zwei beliebigen Punkten von $M$ mindestens so stark verringert wie eine zentrische Streckung mit einem festen Streckungsfaktor $\lambda <1$, also die Menge bei mehrfacher Anwendung „in sich zusammenzieht“ (kontrahiert). Anschaulich erscheint klar, dass durch fortgesetzte Anwendung einer solchen Kontraktion die Ausgangsmenge nach und nach auf eine „beliebig kleine“ Teilmenge abgebildet wird und sich schließlich (könnte man nur unendlich oft abbilden) auf einen Punkt zusammenzieht. Dass diese intuitive Vermutung in sehr allgemeinen Fällen in einem präzisierten Sinn zutrifft, lässt sich mathematisch beweisen. Sätze, die Aussagen über die Existenz des „Grenzpunktes“ der Kontraktion, seine Berechnung oder den Näherungsfehler nach endlich vielen Schritten (Iterationen) machen, werden als Kontraktionssätze oder Fixpunktsätze bezeichnet.

Definition

$(M,d)$ sei ein metrischer Raum. Eine Abbildung $\varphi \colon M\to M$ heißt Kontraktion, wenn es eine Zahl $\lambda \in [0,1)$ gibt, mit der für alle $x,y\in M$ gilt:

$d\left(\varphi (x),\varphi (y)\right)\leq \lambda \cdot d(x,y)$.

Man nennt die Abbildung dann auch kontrahierend oder auch kontraktiv auf $M$.

Anders ausgedrückt: Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann eine Kontraktion, wenn sie

1. die Menge $M$ in sich abbildet und
2. eine Lipschitz-Bedingung mit einer Lipschitz-Konstanten $\lambda <1$ erfüllt.

Anwendung: Reeller Kontraktionssatz

Eine kontrahierende Selbstabbildung $f$ eines Intervalles $I=[a,b]$ besitzt genau einen Fixpunkt $\xi$. Dieser kann durch die Iterationsfolge $x_{n+1}:=f(x_{n})$ mit einem beliebigen Startwert $x_{0}\in I$ berechnet werden. Für die Glieder der Iterationsfolge gilt die Fehlerabschätzung $|x_{n}-\xi |\leq {\frac {\lambda ^{n}}{1-\lambda }}|x_{1}-x_{0}|$.

Eine Verallgemeinerung dieses Satzes ist der Fixpunktsatz von Banach.

Beispiele

• Sei $X\subseteq \mathbb {R}$ und $f$ eine reellwertige Funktion auf $X$, die auf $X$ die Lipschitz-Bedingung mit $\lambda <1$ erfüllt. Wenn es zu dem Startpunkt $x_{0}\in X$ ein Intervall $I=[x_{0}-r,x_{0}+r]\subseteq X$ gibt, auf dem $|f(x_{0})-x_{0}|<|(1-\lambda )r|$ ist, dann ist die Funktion $f$ eine kontrahierende Selbstabbildung von $I$. Ein Fixpunkt in $I$ kann durch die Rekursionsfolge aus dem reellen Kontraktionssatz (s. o.) berechnet werden.

• Eine bekannte Anwendung des reellen Kontraktionssatzes ist das Heronverfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel aus einer ganzen Zahl $a>1$. Anstelle der zur Lösung vorgelegten Gleichung $x^{2}=a$ löst man die Gleichung $x={\frac {x}{2}}+{\frac {a}{2x}}$, bestimmt also einen Fixpunkt der Funktion $f(x)={\frac {x}{2}}+{\frac {a}{2x}}$. Diese Funktion ist auf dem Intervall $I=[w,w+1]$ kontrahierend, wobei $w:=\max\{w\in \mathbb {N} \mid w^{2}<a\}$ gesetzt wird. Als Kontraktionskonstante kann $\lambda ={\tfrac {1}{2}}$ gewählt werden.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1 (= Gottfried Köthe, Klaus-Dieter Bierstedt, Günter Trautmann [Hrsg.]: Mathematische Leitfäden). Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 978-3-519-62233-8, doi:10.1007/978-3-322-96828-9.