Eine konvexe Abbildung ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung einer konvexen Funktion auf allgemeine geordnete Vektorräume. Sie enthält einige unterschiedliche Klassen von konvexen Funktionen als Spezialfälle.

Definition

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Gegeben seien zwei reelle Vektorräume   sowie eine konvexe Menge   und ein Ordnungskegel   auf  . Dann heißt eine Abbildung   konvex auf der Menge   genau dann, wenn

 

ist für alle   und  .

Beispiele

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  • Jede konvexe Funktion   ist eine konvexe Abbildung bezüglich des Ordnungskegels  .
  • Jede konkave Funktion   ist eine konvexe Abbildung bezüglich des Ordnungskegels  .
  • Jede K-konvexe Funktion   ist eine konvexe Abbildung bezüglich des Ordnungskegels  , der in diesem Fall sogar ein echter Kegel ist.
  • Jede matrix-konvexe Funktion   ist eine konvexe Abbildung.   bezeichnet den Vektorraum der symmetrischen reellen Matrizen. Der Ordnungskegel ist der semidefinite Kegel, die korrespondierende Ordnung die Loewner-Halbordnung.
  • Jede lineare Abbildung   ist eine konvexe Abbildung. Es ist immer
 .
Da ein Ordnungskegel aber immer die Null enthält, ist jede lineare Abbildung konvex.

Eigenschaften

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sind konvex. Dies folgt aus der Konvexität des Ordnungskegels.
  • Ist der Ordnungskegel spitz, und sind sowohl die Abbildung   als auch die Abbildung   konvex, dann ist   linear. Auf die zusätzliche Forderung an den Ordnungskegel kann nicht verzichtet werden, da erst diese die nötige Antisymmetrie der Ordnungsrelation garantiert.

Verwendung

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Abgesehen von den vielfältigen Anwendungen der oben aufgeführten Spezialfälle einer konvexen Abbildung werden konvexe Abbildungen zum Beispiel in der konvexen Optimierung in unendlichdimensionalen Räumen genutzt, um Restriktionsmengen zu modellieren. Aufgrund der Konvexität der Subniveaumengen sind diese Restriktionsmengen konvex und garantieren damit bei konvexen Zielfunktionalen, dass jedes lokale Optimum ein globales Optimum ist.

Verallgemeinerung

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Eine Verallgemeinerung einer konvexen Abbildung sind die fast-konvexen Funktionen. Bei ihnen wird lediglich gefordert, dass eine gewisse Menge oberhalb ihres Graphen konvex ist. Jede konvexe Abbildung ist fast-konvex.

Literatur

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  • Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.