Korrespondenzsatz (Gruppentheorie)

mathematischer Satz

Der Korrespondenzsatz beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie den Sachverhalt, dass die Untergruppen in einer Faktorgruppe genau denjenigen Untergruppen der Ausgangsgruppe entsprechen, die den Normalteiler umfassen. Die Bezeichnung Korrespondenzsatz wird, wenn auch seltener, für ähnliche Beziehungen zwischen Unterstrukturen anderer algebraischer Strukturen verwendet.

Korrespondenzsatz in der Gruppentheorie

Bearbeiten

Es sei   ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern  . Dann ist die Zuordnung

 

eine Bijektion zwischen der Menge aller   umfassenden Untergruppen   von   auf die Menge aller Untergruppen von  .

 

ist die Umkehrabbildung.[1] Die Untergruppen von   korrespondieren also eineindeutig zu den Untergruppen von  , die   enthalten. Dabei werden in beiden Richtungen Normalteiler auf Normalteiler abgebildet.

Spezialisiert man diese Aussage auf  , so erhält man, dass die Untergruppen (bzw. Normalteiler) von   genau diejenigen der Form   sind mit einer Untergruppe (bzw. einem Normalteiler)  .[2]

Diese Zuordnung ist monoton, das heißt für Untergruppen   gilt   genau dann, wenn  .

Folgerung: Ein Normalteiler   ist genau maximal unter allen Normalteilern von  , wenn   einfach ist.[3]

Korrespondenzsatz in der Ringtheorie

Bearbeiten

Es seien   ein Ring mit Einselement und   ein zweiseitiges Ideal. Dann ist die Zuordnung

 

eine Bijektion von der Menge aller   umfassenden Linksideale auf die Menge der Linksideale in  . Diese Zuordnung is monoton, das heißt für Linksideale   gilt   genau dann, wenn  [4][5][6]

Korrespondenzsatz für Moduln

Bearbeiten

Es seien   ein Links-R-Modul und   ein Untermodul. Dann ist die Zuordnung

 

eine Bijektion von der Menge aller   umfassenden Untermoduln   auf die Menge aller Untermoduln von  . Diese Zuordnung ist monoton, das heißt für Untermoduln   gilt   genau dann, wenn  .[7]

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Christian Karpfinger: Algebra, Gruppen - Ringe - Körper, Spektrum der Wissenschaft (2013), ISBN 978-3-8274-3011-3, Satz 4.13 (Korrespondenzsatz)
  2. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Kapitel 1.4, Seite 20, Subgroups of the Image
  3. Christian Karpfinger: Algebra, Gruppen - Ringe - Körper, Spektrum der Wissenschaft (2013), ISBN 978-3-8274-3011-3, Lemma 11.2
  4. Joseph J. Rotman: An Introduction to Homological Algebra, Academic Press Inc. (1979), ISBN 978-0-12-599250-3, Satz 2.15 (Correspondence Theorem for Rings)
  5. Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra, Gabler-Verlag (2013), ISBN 978-3-658-02220-4, Kapitel II.2.4, Korrespondenzsatz für Ideale
  6. Christian Karpfinger: Algebra, Gruppen - Ringe - Körper, Spektrum der Wissenschaft (2013), ISBN 978-3-8274-3011-3, Satz 15.14 (Korrespondenzsatz)
  7. Joseph J. Rotman: An Introduction to Homological Algebra, Academic Press Inc. (1979), ISBN 978-0-12-599250-3, Satz 2.14 (Correspondence Theorem)