Kreuzungszahl (Knotentheorie)

Die Kreuzungszahl oder Überkreuzungszahl eines Knotens oder einer Verschlingung ist eine elementare Invariante aus dem mathematischen Gebiet der Knotentheorie.

Tabelle aller Primknoten mit Kreuzungszahl $cr(K)\leq 7$. (Zu chiralen Knoten ist das Spiegelbild jeweils weggelassen.)

Die Kreuzungszahl $cr(K)$ eines Knotens (oder einer Verschlingung) $K$ ist definiert als die minimale Anzahl von Überkreuzungen in einem den Knoten (oder die Verschlingung) $K$ darstellenden Knotendiagramm.

In Knotentabellen werden Knoten üblicherweise nach ihrer Kreuzungszahl angeordnet und jeder Knoten wird durch zwei Zahlen $p_{q}$ bezeichnet, wobei $p$ die Kreuzungszahl des Knotens ist und $q$ die Knoten mit derselben Kreuzungszahl durchnummeriert. Zum Beispiel ist die Kleeblattschlinge $3_{1}$ der einzige Knoten mit Kreuzungszahl 3 und der Achterknoten $4_{1}$ der einzige Knoten mit Kreuzungszahl 4. Es gibt 1.701.936 Primknoten mit Kreuzungszahl $cr(K)\leq 16$.

Im Allgemeinen ist die Kreuzungszahl eines Knotens schwierig zu berechnen. Wenn man aber für einen Knoten $K$ ein reduziertes alternierendes Diagramm findet, dann berechnet dessen Kreuzungszahl die Kreuzungszahl $cr(K)$.

Explizit bekannt sind die Kreuzungszahlen folgender Knotenklassen:

• Die Kreuzungszahl des $(p,q)$-Torusknotens mit $p,q>0$ ist $\min((p-1)q,(q-1)p).$
• Die Kreuzungszahl des Twist-Knotens $T_{n}$ ist $n+2$.
• Die Kreuzungszahl des 2-Brücken-Knotens mit Twist-Parametern $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ist $a_{1}+\ldots +a_{n}$.

Es ist eine offene Vermutung, dass die Kreuzungszahl additiv unter der zusammenhängenden Summe von Knoten ist. Bewiesen ist die Ungleichung ${\frac {1}{152}}(cr(K_{1})+cr(K_{2}))\leq cr(K_{1}\sharp K_{2})\leq cr(K_{1})+cr(K_{2})$.