Kriterium von Dirichlet

Das Kriterium von Dirichlet ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für Reihen. Es gehört zur Gruppe der direkten Kriterien.

Dirichlet-Kriterium für Konvergenz

Kriterium

Die Reihe

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }a_{k}b_{k}$

mit $a_{k}\in \mathbb {R} ,b_{k}\in \mathbb {C}$ konvergiert, wenn $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Nullfolge ist und die Folge $(B_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen

$B_{n}=\sum \limits _{k=0}^{n}b_{k}$

beschränkt ist.

Beweis

Es gilt (siehe Partielle Summation)

$\sum \limits _{k=0}^{n+1}a_{k}b_{k}=a_{n+1}B_{n+1}+\sum \limits _{k=0}^{n}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})$.

Der erste Summand konvergiert gegen null, da $B_{n}$ voraussetzungsgemäß durch eine Konstante $M$ beschränkt ist und $a_{n}$ gegen null konvergiert. Der zweite Summand konvergiert sogar absolut, denn $a_{k}-a_{k+1}\geq 0$ für alle $k$ und damit

$\sum \limits _{k=0}^{n}\left|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})\right|\leq \sum \limits _{k=0}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M(a_{0}-a_{n+1})\rightarrow Ma_{0}$.

Damit ist alles gezeigt.

Dirichlet-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz

Die Reihe

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }a_{k}(x)b_{k}(x)$

ist im Intervall $J$ gleichmäßig konvergent, wenn dort die Partialsummen der Reihe $\textstyle \sum b_{k}(x)$ gleichmäßig beschränkt sind und wenn dort die Folge $(a_{k}(x))$ gleichmäßig gegen null konvergiert, und zwar für jedes feste $x$ monoton.

Siehe auch

• Kriterium von Abel
• Leibniz-Kriterium (behandelt den Spezialfall $b_{k}=(-1)^{k}$)