Konvergenzkriterium

In der Analysis ist ein Konvergenzkriterium ein Kriterium, mit dem die Konvergenz einer Folge oder Reihe bewiesen oder auch widerlegt werden kann. Insbesondere sind damit Kriterien für die Konvergenz oder auch Divergenz reeller Folgen oder Reihen gemeint.

Konvergenzkriterien für Folgen

Wichtige Konvergenzkriterien für Folgen sind:

Monotoniekriterium: Eine monotone Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.
Cauchy-Kriterium: Eine Folge reeller oder komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
Sandwichkriterium: Eine Folge reeller Zahlen konvergiert, wenn sie nach unten und nach oben durch konvergente Folgen abgeschätzt werden kann, die den gleichen Grenzwert haben.

Konvergenzkriterien für Reihen

Entscheidungsbaum zur Bestimmung des Konvergenzverhaltens von Reihen

Für Reihen werden drei Arten von Konvergenzkriterien unterschieden:

Direkte Kriterien, die aus Eigenschaften der Partialsummenfolge der Reihe auf Konvergenz schließen,
Vergleichskriterien 1. Art, die den Absolutbetrag bzw. die Norm der Reihenglieder mit einer bekannten Reihe vergleichen, und
Vergleichskriterien 2. Art, die die Quotienten der Absolutbeträge aufeinanderfolgender Glieder mit den entsprechenden Quotienten einer bekannten Reihe vergleichen.

Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über bekannte Konvergenzkriterien. Die Kriterien ermöglichen unterschiedliche Aussagen: Einige erlauben nur den Schluss auf Konvergenz, mit anderen kann auch Divergenz bewiesen werden, einige zeigen absolute Konvergenz, andere nur Konvergenz (aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz, aber nicht umgekehrt). Zudem erlauben verschiedene Kriterien eine Abschätzung des Grenzwerts oder eine Fehlerabschätzung.

Kriterium	nur für monotone Folgen	Konvergenz	Divergenz	absolute Konvergenz	Abschätzung	Fehler- abschätzung	Art
Nullfolgenkriterium			x				Direktes Kriterium
Monotoniekriterium		x		x
Leibniz-Kriterium	x	x			x	x
Cauchy-Kriterium		x	x
Abel-Kriterium	x	x
Dirichlet-Kriterium	x	x

Majorantenkriterium		x		x			Vergleichskriterium 1. Art
Minorantenkriterium			x
Wurzelkriterium		x	x	x		x
Integralkriterium	x	x	x	x	x
Cauchy-Verdichtungskriterium	x	x	x	x
Grenzwertkriterium		x	x

Quotientenkriterium		x	x	x		x	Vergleichskriterium 2. Art
Gauß-Kriterium		x	x	x
Raabe-Kriterium		x	x	x
Kummer-Kriterium		x	x	x
Bertrand-Kriterium		x	x	x
Ermakoff-Kriterium	x	x	x	x

Siehe auch

Literatur

Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 6. Aufl. Springer, Berlin/Heidelberg 1996 (Ausgabe von 1964)
G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974.