Monotoniekriterium

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Das Monotoniekriterium, auch Hauptkriterium oder Kriterium der monotonen Konvergenz, ist in der Mathematik ein wichtiges Konvergenzkriterium für Folgen und Reihen. Mit dem Monotoniekriterium kann die Konvergenz einer beschränkten und monoton wachsenden oder fallenden Folge reeller Zahlen nachgewiesen werden, ohne dass ihr genauer Grenzwert bekannt ist. Entsprechendes gilt auch für Reihen mit nichtnegativen oder nichtpositiven Summanden.

Nach dem Monotoniekriterium konvergiert eine monoton fallende, nach unten beschränkte Folge gegen einen Grenzwert.

Monotoniekriterium für Folgen

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Kriterium

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Das Monotoniekriterium für Folgen lautet:

Eine monoton wachsende Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann (gleichbedeutend: die Folge hat genau dann einen Grenzwert), wenn sie nach oben beschränkt ist.

Da das Konvergenzverhalten einer Folge nicht von endlich vielen ersten Folgengliedern abhängt, reicht als Voraussetzung aus, dass sich die Folge ab einem bestimmten Folgenglied monoton verhält. Gibt es also in einer Folge   reeller Zahlen einen Index   so, dass

 

für alle   ist, und gibt es weiter eine reelle Schranke   so, dass

 

für alle   ist, dann konvergiert diese Folge, und für den Grenzwert gilt

 .

Analog dazu konvergiert eine monoton fallende Folge genau dann, wenn sie nach unten beschränkt ist, und ihr Grenzwert ist dann mindestens so groß wie die untere Schranke. Mit dem Monotoniekriterium kann somit die Existenz des Grenzwerts einer monotonen Folge nachgewiesen werden, ohne dass der genaue Grenzwert bekannt ist.

Betrachtet wird der Fall einer monoton wachsenden und nach oben beschränkten Folge  .

Schritt A
Zunächst wird gezeigt, dass eine für fast alle Glieder monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge konvergent ist.
Nach Voraussetzung hat die Menge fast aller Folgenglieder
 
ein Supremum  , weil sie beschränkt ist.[1]
Sei   beliebig gewählt. Da   keine kleinere obere Schranke als   hat, ist   ab dem Index   keine obere Schranke von  . Daher gilt
 .
für einen geeignet gewählten Index  . Da   ab dem Index   monoton wachsend ist, gilt
 
für alle  . Also ist
 ,
und somit konvergiert die Folge (und zwar gegen das Supremum   fast aller ihrer Glieder).
Schritt B
Zu zeigen bleibt, dass eine für fast alle Glieder monotone wachsende, konvergente Folge nach oben beschränkt ist. Der Beweis wird indirekt geführt.
 
sei der Grenzwert einer ab dem Index   monoton wachsenden Folge. Angenommen wird die Existenz eines Folgenglieds
 .
Da   für fast alle   monoton wachsend ist, gilt
  (1)
für alle  .
Sei   gewählt. Dann gibt es ein   so, dass für alle   gilt:
 ,
im Widerspruch zu (1). Also existiert   nicht, und   ist für alle   durch ihren Grenzwert   nach oben beschränkt.
 

Ganz analog ist zu zeigen, dass:

  • eine monoton fallende, nach unten beschränkten Folge (gegen das Infimum fast aller ihrer Glieder) konvergiert, und dass
  • eine monoton fallende, konvergente Folge durch ihren Grenzwert nach unten beschränkt ist.

Beispiel

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Die Folge mit der Vorschrift

 

ist monoton wachsend, da

 ,

und es gilt

 

für alle  . Somit konvergiert die Folge gegen einen Grenzwert mit

 .

Wie man an diesem Beispiel sieht, kann der Grenzwert einer Folge gleich der angegebenen Schranke sein, selbst wenn jedes Folgenglied echt kleiner als die Schranke ist.

Anwendung

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In der Praxis wird das Monotoniekriterium oft auch in der Form angewendet, dass man zu einer monoton wachsenden Folge   eine monoton fallende Folge   findet, die   für alle   erfüllt. Dann konvergieren sowohl   als auch   und es gilt

 .

Beispielsweise ist die zur Definition der eulerschen Zahl verwendete Folge

 

monoton wachsend und die Folge

 

monoton fallend. Nachdem   gilt, konvergieren beide Folgen. Bildet (wie in diesem Beispiel)   eine Nullfolge, so liegt eine Intervallschachtelung vor und es gilt sogar

 .

Monotoniekriterium für Reihen

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Kriterium

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Das Monotoniekriterium für Reihen lautet:

Eine Reihe mit nichtnegativen reellen Summanden konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert, wenn ihre Partialsummen nach oben beschränkt sind.

Dabei reicht es ebenfalls aus, dass die Summanden ab einem bestimmten Index nichtnegativ sind. Gilt also für die Summanden einer Reihe  

 

für alle   und ist die Folge   der Partialsummen

 

durch eine reelle Schranke   nach oben beschränkt, dann konvergiert diese Reihe und es gilt für den Grenzwert

 .

Analog dazu konvergiert eine Reihe mit nichtpositiven reellen Summanden genau dann, wenn ihre Partialsummen nach unten beschränkt sind. Eine Reihe, die dem Monotoniekriterium genügt, ist dabei nicht nur konvergent, sondern sogar absolut konvergent.

Beispiel

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Es wird die Reihe

 

auf Konvergenz untersucht. Die Summanden sind alle nichtnegativ, deswegen ist das Monotoniekriterium anwendbar. Die Partialsummen der Reihe sind nach oben beschränkt, denn es gilt die Ungleichung

 

und nach Auflösung der resultierenden Teleskopsumme die Abschätzung

 .

Demnach konvergiert die Reihe gegen einen Grenzwert, der höchstens   ist. Der tatsächliche Grenzwert dieser Reihe liegt bei  .

Auch hier reicht es aus, den Fall einer Reihe mit nichtnegativen Summanden zu betrachten. Eine Reihe konvergiert, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert. Aus   für   folgt nun

 

für  , wodurch die Folge   der Partialsummen ab diesem Index monoton wachsend ist. Weiterhin ist die Folge der Partialsummen nach Voraussetzung nach oben beschränkt. Aus dem Monotoniekriterium für Folgen folgt dann die Konvergenz der Partialsummenfolge und damit die Konvergenz der Reihe.

Siehe auch

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Literatur

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Anmerkungen

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  1. Näheres zum Begriff des Supremums und zur Existenz des Supremums für beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen finden sich in den hier verlinkten Abschnitten des Artikels Infimum und Supremum.