Logarithmisches Konvergenzkriterium

Das logarithmische Konvergenzkriterium ist ein Konvergenzkriterium der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Es gibt hinreichende Bedingungen sowohl für die Konvergenz als auch für die Divergenz von Reihen, deren Glieder eine Folge positiver reeller Zahlen bilden.

Formulierung des Kriterium

Das Kriterium besagt folgendes:

Sei $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Zahlenfolge in $\mathbb {R}$ und sei dabei jede Zahl $a_{k}>0$   $(k\in \mathbb {N} )$  .

Es sei vorausgesetzt, dass die dazu gebildete Zahlenfolge $(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }$   mit

$b_{k}={\frac {\ln(k\cdot a_{k})}{\ln(\ln(k))}}\;(k\in \mathbb {N} )$

eigentlich oder uneigentlich konvergiere und dabei den Grenzwert

$L=\lim _{k\to \infty }{b_{k}}\in [-\infty ,\infty ]$

habe.

Dann gilt:

(I) Im Falle   $L<-1$   ist die zugehörige Reihe ${\sum }_{k}{a_{k}}$ konvergent:

$\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k}}<\infty$   .

(II) Im Falle   $L>-1$   ist die zugehörige Reihe ${\sum }_{k}{a_{k}}$ divergent:

$\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k}}=\infty$   .

Hinweise zum Beweis

Der Beweis beruht auf dem Majoranten- und Minorantenkriterium und darauf, dass die Reihe

$\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k\cdot {\ln(k)}^{1+\delta }}}$

für   $\delta >0$   konvergiert und für   $\delta =0$   divergiert.

Dabei kommt für den Konvergenzfall das Integralkriterium zum Tragen sowie die Tatsache, dass dann

$\textstyle \int _{2}^{\infty }{\frac {1}{t\cdot {\ln(t)}^{1+\delta }}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\delta \cdot {\ln(2)}^{\delta }}}$

ist.

Anwendung

• Für

$a_{k}={\frac {1}{k^{2}}}\;\;(k\in \mathbb {N} )$

hat man

$\lim _{k\to \infty }{b_{k}}=\lim _{k\to \infty }{\frac {\ln({\frac {1}{k}})}{\ln(\ln(k))}}=\lim _{k\to \infty }{\frac {-\ln(k)}{\ln(\ln(k))}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {-x}{\ln(x))}}=-{\infty }<1$  ,

was nach dem Kriterium einen Beweis für die Konvergenz der bekannten Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$

darstellt.

• Für

$a_{k}={\frac {1}{k}}\;\;(k\in \mathbb {N} )$

hat man

$\lim _{k\to \infty }{b_{k}}=\lim _{k\to \infty }{\frac {\ln(1)}{\ln(\ln(k))}}=0>-1$  ,

womit das Kriterium die Divergenz der harmonischen Reihe beweist.

Anmerkung

Über den „Zweifelsfall“   $\lim _{k\to \infty }{b_{k}}=-1$   sind keine Aussagen hinsichtlich Konvergenz oder Divergenz zu machen. D. h., es können je nach vorgelegter Zahlenfolge beide Fälle eintreten.

Literatur

• Kazimierz Kuratowski: Introduction to Calculus (= International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics. Band 17). 2. Auflage. Pergamon Press, Oxford u. a. 1969 (MR0349918).