Kriterium von Kummer

mathematischer Satz

Das Kriterium von Kummer (nach dem deutschen Mathematiker Ernst Eduard Kummer) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe (absolut) konvergiert.

Das Kummer-Kriterium beinhaltet zwei Aussagen, über Konvergenz und über Divergenz.

Formulierung

Bearbeiten

Sei   eine positive reelle Zahlenfolge. Mit dieser wird die Reihe   gebildet. Diese Reihe soll auf Konvergenz oder Divergenz untersucht werden.

Konvergenzaussage

Bearbeiten

Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge  , so dass ab einem bestimmten Index   der Ausdruck

 

stets größer oder gleich einer positiven Konstante   ist, dann konvergiert die Reihe  .[1]

Divergenzaussage

Bearbeiten

Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge  , so dass

  • die Reihe der reziproken Glieder   divergiert und
  • ab einem bestimmten Index   der Ausdruck
 
stets kleiner gleich Null ist,

dann divergiert die Reihe  .[1]

Beweis der Konvergenzaussage

Bearbeiten

Es gelte für alle Indizes   die Abschätzung

 .

Nach dem Durchmultiplizieren mit   ergibt sich daraus

 .

Diese Ungleichung lässt sich nun von   bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl   nach Art einer Teleskopsumme aufsummieren.

 

Der letzte Ausdruck ist immer kleiner als  , diese Schranke hängt nicht von   ab. Also gilt für alle  

 

Daher wächst die Folge der Partialsummen   ab dem Index   monoton und ist nach oben beschränkt. Nach dem (Trivial-)Kriterium der monotonen Konvergenz konvergiert somit  .

Beweis der Divergenzaussage

Bearbeiten

Es gelte für alle Indizes   die Abschätzung

  und damit auch  .

Durch induktive Verkettung dieser Ungleichungen von   bis zu einem beliebig großen Index   ergibt sich

 ,

nach weiterem Umstellen

 .

Wird diese Ungleichung von   bis zu einem beliebig großen Index   aufsummiert, so folgt

 

Letzte Reihe divergiert nach Voraussetzung für  . Also divergiert auch   nach dem Minorantenkriterium.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. a b Wladimir Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik, Harri Deutsch Verlag, ISBN 3-8171-1419-2, S. 309–310.