Kriterium von Kummer

Das Kriterium von Kummer (nach dem deutschen Mathematiker Ernst Eduard Kummer) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe (absolut) konvergiert.

Das Kummer-Kriterium beinhaltet zwei Aussagen, über Konvergenz und über Divergenz.

Formulierung

Sei $(c_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine positive reelle Zahlenfolge. Mit dieser wird die Reihe $S=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}$ gebildet. Diese Reihe soll auf Konvergenz oder Divergenz untersucht werden.

Konvergenzaussage

Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge $(\alpha _{k})$, so dass ab einem bestimmten Index $\mu$ der Ausdruck

$\alpha _{k-1}\,{\frac {c_{k-1}}{c_{k}}}-\alpha _{k}$

stets größer oder gleich einer positiven Konstante $\theta >0$ ist, dann konvergiert die Reihe $S=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}$.

Divergenzaussage

Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge $(\alpha _{k})$, so dass

• die Reihe der reziproken Glieder $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha _{k}}}$ divergiert und
• ab einem bestimmten Index $\mu$ der Ausdruck

$\alpha _{k-1}\,{\frac {c_{k-1}}{c_{k}}}-\alpha _{k}$

stets kleiner gleich Null ist,

dann divergiert die Reihe $S=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}$.

Beweise

Beweis der Konvergenzaussage

Es gelte für alle Indizes $k>\mu$ die Abschätzung

$0<\theta \leq \alpha _{k-1}\,{\frac {c_{k-1}}{c_{k}}}-\alpha _{k}$.

Nach dem Durchmultiplizieren mit $c_{k}\,$ ergibt sich daraus

$\theta c_{k}\leq \alpha _{k-1}c_{k-1}-\alpha _{k}c_{k}$.

Diese Ungleichung lässt sich nun von $k=\mu +1\,$ bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl $n>\mu \,$ nach Art einer Teleskopsumme aufsummieren.

$\theta \sum _{k=\mu +1}^{n}c_{k}\leq \sum _{k=\mu +1}^{n}(\alpha _{k-1}c_{k-1}-\alpha _{k}c_{k})=\alpha _{\mu }\,c_{\mu }-\alpha _{n}c_{n}$

Der letzte Ausdruck ist immer kleiner als $\alpha _{\mu }\,c_{\mu }$, diese Schranke hängt nicht von $n\,$ ab. Also gilt für alle $n>\mu \,$

$\sum _{k=\mu +1}^{n}c_{k}\leq {\frac {\alpha _{\mu }\,c_{\mu }}{\theta }}$

Daher wächst die Folge der Partialsummen $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}$ ab dem Index $\mu \,$ monoton und ist nach oben beschränkt. Nach dem (Trivial-)Kriterium der monotonen Konvergenz konvergiert somit $S=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}$.

Beweis der Divergenzaussage

Es gelte für alle Indizes $k>\mu$ die Abschätzung

$\alpha _{k-1}\,{\frac {c_{k-1}}{c_{k}}}-\alpha _{k}\leq 0$ und damit auch $\alpha _{k}c_{k}\geq \alpha _{k-1}c_{k-1}$.

Durch induktive Verkettung dieser Ungleichungen von $k=\mu +1\,$ bis zu einem beliebig großen Index $m>\mu$ ergibt sich

$\alpha _{m}c_{m}\geq \alpha _{\mu }c_{\mu }$,

nach weiterem Umstellen

$c_{m}\geq {\frac {\alpha _{\mu }}{\alpha _{m}}}c_{\mu }$.

Wird diese Ungleichung von $m=\mu +1$ bis zu einem beliebig großen Index $n$ aufsummiert, so folgt

$\sum _{m=\mu +1}^{n}c_{m}\geq \alpha _{\mu }c_{\mu }\sum _{m=\mu +1}^{n}{\frac {1}{\alpha _{m}}}$

Letzte Reihe divergiert nach Voraussetzung für $n\to \infty$. Also divergiert auch $S=\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}$ nach dem Minorantenkriterium.