Kronecker-Symbol

Verallgemeinerung des Jacobi-Symbols in der Zahlentheorie

In der Mathematik ist das Kronecker-Symbol eine Verallgemeinerung des Jacobi-Symbols auf beliebige ganzzahlige . Es wurde von dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker eingeführt[1] und wird daher nach ihm benannt.

Definition

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Es sei   eine ganze Zahl ungleich 0 mit der Primfaktorzerlegung

 

wobei   eine Einheit ist (d. h.  ) und die   Primzahlen bezeichnen. Ist   eine ganze Zahl, so ist das Kronecker-Symbol   definiert durch

 

Für ungerade   ist die Zahl   einfach das gewöhnliche Legendre-Symbol. Der Fall   ist getrennt zu betrachten. Wir definieren   durch

 

Der Faktor   in der Definitionsgleichung ist für   gleich   (Jacobi-Symbol). Für   definiert man

 

Schließlich setzt man noch

 

Durch diese Erweiterungen lässt sich das Kronecker-Symbol für alle ganzen Zahlen   definieren.

Bei einigen Autoren wird das Kronecker-Symbol nur unter einschränkenden Voraussetzungen definiert, beispielsweise   und  .

Für ungerades   stimmt das Kronecker-Symbol mit dem Jacobi-Symbol überein.

Eigenschaften

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Das Kronecker-Symbol teilt – mit gewissen Einschränkungen – viele grundlegende Eigenschaften mit dem Jacobi-Symbol:

  •   falls  , sonst  .
  •   außer wenn   gilt und eine der Zahlen   gleich 0 ist und die andere negativ.
  •  , außer wenn   gilt und eine der Zahlen   gleich 0 ist und die andere einen ungeraden Anteil (siehe unten) kongruent zu   besitzt.
  • Für   gilt   wenn   Wenn   und   das gleiche Vorzeichen haben, gilt diese Aussage auch für  .
  • Für  ,   gilt  , wenn  

Zu beachten ist, dass das Kronecker-Symbol nicht die gleiche Verbindung zum Begriff des quadratischen Rests hat wie das Jacobi-Symbol. Insbesondere kann für gerades   das Kronecker-Symbol   Werte annehmen, die unabhängig davon sind, ob   ein quadratischer Rest oder Nichtrest modulo   ist.

Quadratische Reziprozität

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Das Kronecker-Symbol erfüllt die folgende Version des quadratischen Reziprozitätsgesetzes:

Für jede ganze Zahl   bezeichne   den ungeraden Anteil:   mit ungeradem   (für   wird   gesetzt). Dann gilt die folgende symmetrische Version des quadratischen Reziprozitätsgesetzes für jedes Paar von teilerfremden ganzen Zahlen  :

 

Dabei gilt das Pluszeichen von  , falls   oder   zutrifft, und das Minuszeichen, falls   und  .

Es gibt auch eine unsymmetrische Version der quadratischen Reziprozität, die für jedes Paar teilerfremder ganzer Zahlen   richtig ist:

 

Für eine beliebige ganze Zahl   sei  . Dann gibt es eine weitere äquivalente, unsymmetrische Version, nach der

 

für beliebige ganze Zahlen   (nicht notwendig teilerfremd) gilt.

Die Ergänzungssätze lassen sich ebenfalls für das Kronecker-Symbol verallgemeinern. Diese Gesetze folgen unmittelbar aus jeder der obigen Formulierungen des quadratischen Reziprozitätsgesetzes (anders als beim Legendre-Symbol oder beim Jacobi-Symbol, bei denen sowohl das grundlegende Gesetz als auch die Ergänzungssätze benötigt werden, um die quadratische Reziprozität vollständig zu beschreiben).

Für eine beliebige ganze Zahl   gilt

 

für eine beliebige ungerade ganze Zahl  

 
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Einzelnachweise

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  1. Leopold Kronecker, Zur Theorie der elliptischen Functionen, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Jahrgang 1885, S. 770