Krullscher Hauptidealsatz

mathematischer Satz der Dimensionstheorie

Der Krullsche Hauptidealsatz ist ein zentraler Satz der Dimensionstheorie von noetherschen Ringen in der kommutativen Algebra, der nach Wolfgang Krull benannt ist und von ihm 1928 veröffentlicht wurde.[1][2]

Formulierung

Bearbeiten

Sei   ein noetherscher Ring,   eine Nichteinheit und   minimal unter den Primidealen, die das Hauptideal   enthalten.

Dann ist die Höhe des Primideals   höchstens  .[3][4][5]

Verallgemeinerung auf beliebige Ideale

Bearbeiten

Die Aussage des Krullschen Hauptidealsatzes lässt sich von Hauptidealen auf beliebige Ideale verallgemeinern. Sie wird dann auch als Krullscher Höhensatz bezeichnet.[6]

Sei   ein noetherscher Ring,   ein echtes Ideal, welches von   Elementen erzeugt wird und   minimal unter den Primidealen, die das Ideal   enthalten. Dann ist die Höhe des Primideals   höchstens  .[7][8]

Bedeutung für die algebraische Geometrie

Bearbeiten

Da man die Dimension einer affinen algebraischen Varietät als Krulldimension des zugehörigen Koordinatenrings erhält, liefert der Krullsche Hauptidealsatz direkt Abschätzungen über Dimensionen bestimmter Varietäten. Man erhält so etwa die folgende Aussage:

Sind   irreduzible projektive Varietäten im  -dimensionalen projektiven Raum über dem Körper  . Dann erhält man für eine irreduzible Komponente   die Abschätzung

 .[9]

Literatur

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, S. 231.
  2. Krull: Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. 1928, §3.
  3. Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, Theorem 10.1.
  4. Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.1.
  5. Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. 1969, Corollary 11.17.
  6. Markus Brodmann: Algebraische Geometrie: Eine Einführung. Birkhäuser, Basel 1989, ISBN 978-3-7643-1779-9, S. 143.
  7. Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, Theorem 10.2.
  8. Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.4.
  9. Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.9.