L2-Homologie

In der Mathematik ist $L^{2}$-Homologie eine Homologietheorie für CW-Komplexe (insbesondere Simplizialkomplexe oder glatte Mannigfaltigkeiten) mit freien Gruppenwirkungen.

Mit ihrer Hilfe werden $L^{2}$-Invarianten wie L²-Betti-Zahlen und Novikov-Shubin-Invarianten von Simplizialkomplexen und glatten Mannigfaltigkeiten definiert.

Definition

Sei $G$ eine Gruppe und $X$ ein CW-Komplex von endlichem Typ mit einer freien, zellulären Wirkung der Gruppe $G$.

Sei $C_{*}(X)$ der zelluläre Kettenkomplex mit der Wirkung von $G$ und sei $l^{2}(G)$ der Hilbert-Modul, den man als Vervollständigung des Gruppenrings $\mathbb {C} [G]$ bezüglich des Skalarprodukts $\textstyle \langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{g\in G}b_{g}g\rangle =\sum _{g\in G}{\overline {a_{g}}}b_{g}$ erhält. Wir definieren den $l^{2}$-Kettenkomplex als

$C_{*}^{(2)}(X):=l^{2}(G)\otimes _{\mathbb {C} [G]}C_{*}(X)$.

Der Rand-Operator $\partial _{*}\colon C_{*}(X)\to C_{*-1}(X)$ induziert einen Rand-Operator

$\partial _{*}^{(2)}\colon C_{*}^{(2)}(X)\to C_{*-1}^{(2)}(X)$.

Die $l^{2}$-Homologie ist dann definiert als

$H_{*}^{(2)}(X):=\mathrm {Kern} (\partial _{*}^{(2)})/{\overline {\mathrm {Bild} (\partial _{*+1}^{(2)})}}$.

Sie ist ein Hilbert-$G$-Modul.

L²-Betti-Zahlen

Die $p$-te $L^{2}$-Betti-Zahl ist durch

$b_{p}^{(2)}(X):=\dim _{{\mathcal {N}}(G)}H_{p}^{(2)}(X)$

definiert. Hierbei bezeichnet $\dim _{{\mathcal {N}}(G)}$ die von-Neumann-Dimension des Hilbert-${\mathcal {N}}(G)$-Moduls $H_{p}^{(2)}(X)$.

Literatur

• W. Lück: L²-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
• H. Kammeyer: Introduction to l²-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
• C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L²-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).