Topologische Algebra

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Eine topologische Algebra ist eine mathematische Struktur. Es handelt sich um eine Algebra, in der Regel über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen, die eine Topologie trägt, so dass die algebraischen Operationen, das heißt die Addition, die Multiplikation und die skalare Multiplikation stetig sind. Derartige Algebren, deren prominenteste Vertreter Banachalgebren sind, werden in der Funktionalanalysis untersucht.

Definition

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Eine topologische  -Algebra ist eine  -Algebra  , so dass die Abbildungen

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stetig sind.   ist damit ein topologischer Vektorraum, auf dem eine stetige Multiplikation definiert ist.

Wichtige Klassen

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Banachalgebren

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Die bekanntesten Beispiele sind normierte Algebren, speziell Banachalgebren. Insbesondere für letztere wurde eine umfangreiche Theorie entwickelt. Wichtige Spezialfälle sind C*-Algebren, insbesondere Von-Neumann-Algebren, und Gruppenalgebren   in der harmonischen Analyse.

Fréchet-Algebren

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Hierbei handelt es sich um Algebren, die bezüglich einer Folge   submultiplikativer Halbnormen einen Fréchet-Raum bilden. Die Submultiplikativität der Halbnormen sichert die Stetigkeit der Multiplikation.

Die  -Algebra   aller stetigen Funktionen   auf einem separablen, lokalkompakten Hausdorffraums   wird zu einer Fréchet-Algebra, wenn die Topologie durch die Halbnormen

 

definiert, wobei   eine Folge kompakter Mengen   ist, für die   im Inneren von   liegt und die   erfüllen.   trägt dann die Topologie der kompakten Konvergenz und wird deshalb auch mit   bezeichnet.

Ist speziell   eine offene Menge, so bildet die Algebra   der holomorphen Funktionen eine Unter-Fréchet-Algebra von  . Diese Algebren sind nicht normierbar, also insbesondere keine Banachalgebren, sie spielen in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher eine Rolle.

LMC-Algebren

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Eine LMC-Algebra, oder auch lokal multiplikativ-konvexe Algebra, ist eine Algebra mit einer lokalkonvexen Topologie, die von einer Familie submultiplikativer Halbnormen definiert wird. Die Submultiplikativität sichert die Stetigkeit der Multiplikation. Die vollständigen LMC-Algebren nennt man auch Arens-Michael-Algebren, sie können mittels der Arens-Michael-Zerlegung untersucht werden.

Sei   ein topologischer Raum und   die  -Algebra der stetigen Funktionen   mit der Topologie der punktweisen Konvergenz. Diese wird von der Familie der submultiplikativen Halbnormen  , wobei  , definiert. Ist   überabzählbar, so ist   keine Fréchet-Algebra.

Lokalkonvexe Algebren

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Eine topologische Algebra heißt lokalkonvexe Algebra, wenn ihre Topologie lokalkonvex ist. Definitionsgemäß sind LMC-Algebren lokalkonvex, aber die Topologie einer lokalkonvexen Algebra wird nicht zwingend von einer Familie submultiplikativer Halbnormen erzeugt.

Als Beispiel betrachten wir die Algebra  , den Quotientenkörper des Polynomrings  . Wir definieren für   Funktionen

 

Jedes Element   kann als Funktion einer komplexen Variablen aufgefasst werden und hat als solche eine Laurent-Entwicklung  . Definiere nun die Halbnorm   auf   durch

 .

Man kann zeigen, dass   mit den Halbnormen   eine lokalkonvexe Algebra ist, die keine LMC-Algebra ist.

Eigenschaften

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Wichtige Eigenschaften von Banachalgebren übertragen sich nicht auf allgemeinere Klassen. So ist die automatische Stetigkeit von Homomorphismen von der Algebra in den Grundkörper, die bei Banachalgebren gegeben ist, bei Fréchet-Algebren ein offenes Problem. Andere typische Eigenschaften von Banachalgebren sind in allgemeineren Situationen zusätzlich zu fordern. Das führt dann zu weiteren Klassen von Algebren.

Q-Algebren

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Eine topologische Algebra   mit Einselement heißt Q-Algebra, wenn die Menge   der invertierbaren Elemente offen ist. Eine topologische Algebra mit Einselement ist genau dann eine Q-Algebra, wenn das Innere von   nicht leer ist. Das Spektrum eines Elements   einer Q-Algebra, das heißt die Menge  , ist kompakt.

Jede Banachalgebra ist eine Q-Algebra, die Fréchet-Algebra   ist keine Q-Algebra.

Algebren mit stetigen Inversen

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Ist in einer topologischen Algebra   mit Einselement die Abbildung   stetig, so sagt man,   sei eine Algebra mit stetigen Inversen. Das obige Beispiel   einer lokalkonvexen Algebra hat keine stetigen Inversen. Man kann mittels der Arens-Michael-Zerlegung zeigen, dass LMC-Algebren stetige Inversen haben.

Literatur

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  • Edward Beckenstein, Lawrence Narici, Charles Suffel: Topological algebras, North-Holland Publishing Company (1977), ISBN 0-7204-0724-9