Die Arens-Michael-Zerlegung, benannt nach Richard Arens und Ernest Michael, ist eine mathematische Konstruktion zur Untersuchung von LMC-Algebren. Die Arens-Michael-Zerlegung stellt vollständige LMC-Algebren als projektive Limiten von Banachalgebren dar.[1]

Konstruktion

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Es sei   eine LMC-Algebra, das heißt eine topologische Algebra, deren Topologie durch eine gerichtete Familie submultiplikativer Halbnormen   gegeben ist, wobei   für   steht. Dann ist   ein zweiseitiges Ideal und   definiert durch

 

eine Norm auf der Quotientenalgebra  . Die Vervollständigungen der   sind Banachalgebren, die mit   bezeichnet werden.

Für   definiert   einen Algebrenhomomorphismus  . Mit diesen Abbildungen erhält man eine Einbettung

 

in den projektiven Limes des Systems  . Damit ist jede LMC-Algebra eine Unteralgebra eines Produkts von Banachalgebren. Dies nennt man die Arens-Michael-Zerlegung.[2]

Wenn   vollständig ist, so ist   surjektiv und man erhält das Resultat, dass vollständige LMC-Algebren projektive Limiten von Banachalgebren sind. Vollständige LMC-Algebren nennt man daher auch Arens-Michael-Algebren[3].

Anwendungen

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Mittels der Darstellung als projektive Limiten von Banachalgebren können manche Ergebnisse aus der Theorie der Banachalgebren auf (vollständige) LMC-Algebren übertragen werden.

Eine typische Anwendung ist das Invertierbarkeitskriterium von Arens. Mit den Bezeichnungen aus obiger Konstruktion ist ein Element   aus einer Arens-Michael-Algebra mit Einselement genau dann invertierbar, wenn   in jeder Algebra   invertierbar ist.[4]

Weiter kann man mit diesen Methoden zeigen, dass LMC-Algebren eine stetige Inverse haben, das heißt, dass die Abbildung   auf der Menge der invertierbaren Elemente automatisch stetig ist.[5]

Einzelnachweise

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  1. E. A. Michael: Locally multiplicatively-convex topological algebras, Mem. Amer. Math. Soc. (1952), Band 11
  2. Anastasios Mallios: Topological Algebras: Selected Topics, North-Holland Mathematics Studies, Band 124, Kapitel III.3 "Arens Michael Decomposition"
  3. A. Y. Helemskii: The Homology of Banach and Topological Algebras. Kluwer Academic Publishers (1989), ISBN 0-7923-0217-6, Kapitel 0, §1.3. Definition 1.2
  4. Edward Beckenstein, Lawrence Narici, Charles Suffel: Topological algebras, North-Holland Publishing Company (1977), ISBN 0-7204-0724-9, Theorem 4.6-1 (e)
  5. Edward Beckenstein, Lawrence Narici, Charles Suffel: Topological algebras, North-Holland Publishing Company (1977), ISBN 0-7204-0724-9, Theorem 4.8-6