LR-Algorithmus

Der LR-Algorithmus, auch Treppeniteration, LR-Verfahren oder LR-Iteration, ist ein Verfahren zur Berechnung aller Eigenwerte und eventuell auch Eigenvektoren einer quadratischen Matrix und wurde 1958 vorgestellt von Heinz Rutishauser. Er ist der Vorläufer des gängigeren QR-Algorithmus von John G. F. Francis und Wera Nikolajewna Kublanowskaja. Beide basieren auf dem gleichen Prinzip der Unterraumiteration, verwenden im Detail aber unterschiedliche Matrix-Faktorisierungen, die namensgebende LR-Zerlegung bzw. QR-Zerlegung. Obwohl der LR-Algorithmus sogar einen geringeren Aufwand als der QR-Algorithmus aufweist, verwendet man heutzutage für das vollständige Eigenwertproblem eher den letzteren, da der LR-Algorithmus weniger zuverlässig ist.

Ablauf des LR-Algorithmus

Der LR-Algorithmus formt die gegebene quadratische Matrix $A=:A_{0}$ in jedem Schritt um, indem zuerst ihre LR-Zerlegung berechnet wird, sofern diese existiert, und dann deren beide Faktoren in umgekehrter Reihenfolge wieder multipliziert werden, d. h.

$A_{0}:=A$

for $k=1,2,\ldots$ do

$A_{k-1}=:L_{k}R_{k}$ (LR-Zerlegung)

$A_{k}:=R_{k}L_{k}$

end for

Da $A_{k}=R_{k}L_{k}=L_{k}^{-1}A_{k-1}L_{k}$ ähnlich ist zu $A_{k-1}$ bleiben alle Eigenwerte erhalten. Der LR-Algorithmus hat wie der QR-Algorithmus den Vorteil, am Platz durchführbar zu sein, d. h. durch Überschreiben der Matrix $A$ und weist im Vergleich zum QR-Algorithmus sogar geringere Kosten auf, da die bei der LR-Zerlegung verwendeten Gauß-Transformationen (vgl. Elementarmatrix) jeweils nur eine Zeile ändern, während Givens-Rotationen jeweils auf 2 Zeilen operieren. Zusätzlich sind beim LR-Algorithmus auch die vom QR-Algorithmus bekannten Maßnahmen zur Beschleunigung der Rechnung einsetzbar:

• für Hessenbergmatrizen kostet jeder LR-Schritt nur $O(n^{2})$ Operationen
• die Konvergenz lässt sich durch Spektralverschiebung wesentlich beschleunigen
• durch Deflation kann die Iteration auf eine Teilmatrix eingeschränkt werden, sobald sich einzelne Eigenwerte abgesondert haben.

Probleme im LR-Algorithmus

Der entscheidende Nachteil des LR-Algorithmus ist aber, dass die einfache LR-Zerlegung der Matrizen $L_{k}R_{k}=A_{k-1}$ eventuell nicht existiert oder durch kleine Pivotelemente zu großen Rundungsfehlern führen kann. In diesem Fall sind Zeilenvertauschungen erforderlich, welche auf eine modifizierte Zerlegung $A_{k-1}=P_{k}L_{k}R_{k}$ mit einer Permutationsmatrix $P_{k}$ führen. Die entsprechende Modifikation des Verfahrens ist $A_{k}=R_{k}P_{k}L_{k}=L_{k}^{-1}(P_{k}^{T}A_{k-1}P_{k})L_{k}$, welche wieder auf eine zu $A_{k-1}$ ähnliche Matrix führt. Allerdings ist dann die Konvergenz nicht mehr gesichert, es gibt Beispiele, wo die modifizierte Iteration zur Ausgangsmatrix $A=A_{0}$ zurückkehrt. Daher bevorzugt man den QR-Algorithmus, der dieses Problem nicht hat.

Literatur

• Heinz Rutishauser (1958): Solution of eigenvalue problems with the LR transformation. Nat. Bur. Stand. App. Math. Ser. 49, 47–81.
• J. G. F. Francis (1961): The QR Transformation: A Unitary Analogue to the LR Transformation—Part 1. The Computer Journal Vol. 4(3), S. 265–271. doi:10.1093/comjnl/4.3.265
• Josef Stoer, Roland Bulirsch: Numerische Mathematik 2. 5. Auflage, Springer-Verlag Berlin 2005, ISBN 978-3-540-23777-8.