Lagrangesche Untermannigfaltigkeit

In der symplektischen Geometrie, der mathematischen Formalisierung der hamiltonschen Mechanik, werden die maximalen isotropen Untermannigfaltigkeiten symplektischer Mannigfaltigkeiten als lagrangesche Untermannigfaltigkeiten bezeichnet.

Ihre Bedeutung stammt unter anderem daher, dass sich Fragen über periodische Bahnen hamiltonscher Systeme in Fragen über die Schnitte lagrangescher Untermannigfaltigkeiten übersetzen lassen. Sei nämlich die Zeit-1-Abbildung eines hamiltonschen Flusses, dann liegt genau dann auf einer 1-periodischen Bahn, wenn zum Schnitt der lagrangeschen Graphen von und gehört.

Definition

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Eine Untermannigfaltigkeit   einer symplektischen Mannigfaltigkeit   heißt isotrop, wenn

 

gilt, das heißt wenn die Einschränkung der symplektischen Form auf den Tangentialraum von   verschwindet. Für die Dimension einer isotropen Untermannigfaltigkeit gilt die Ungleichung  .

Eine lagrangesche Untermannigfaltigkeit einer 2n-dimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeit   ist eine n-dimensionale isotrope Untermannigfaltigkeit  , also eine isotrope Untermannigfaltigkeiten maximaler Dimension.

Beispiele

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  • Im symplektischen   ist jede Kurve eine lagrangesche Untermannigfaltigkeit.
  • Im symplektischen   ist der den Koordinaten   entsprechende   eine lagrangesche Untermannigfaltigkeit.
  • Der Nullschnitt im symplektischen Kotangentialbündel ist eine lagrangesche Untermannigfaltigkeit.
  • Sei   eine symplektische Mannigfaltigkeit. Der Funktionsgraph   einer Abbildung   ist genau dann eine lagrangesche Untermannigfaltigkeit von  , wenn   ein Symplektomorphismus ist.
  • Satz von Arnold-Liouville: Zu einem auf einer  -dimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeit durch Funktionen   mit verschwindenden Poisson-Klammern gegebenen integrablen System sind die Niveauflächen   lagrangesche Untermannigfaltigkeiten.

Literatur

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  • V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 60). 2. Auflage, Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-96890-3.