Ein symplektisches Vektorfeld ist im mathematischen Teilgebiet der symplektischen Geometrie (wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie) ein spezielles glattes Vektorfeld auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit, welches mit dessen symplektischer Form kompatibel ist.

Definition

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Für eine symplektische Mannigfaltigkeit   ist ein glattes Vektorfeld   mit   ein symplektisches Vektorfeld. Mit der Cartan-Formel   und der Geschlossenheit   der symplektischen Form   folgt die äquivalente Bedingung der Geschlossenheit   der Form  .[1][2]

Eigenschaften

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  • Linearkombinationen von symplektischen Vektorfeldern sind symplektische Vektorfelder. Für Skalare   und symplektische Vektorfelder   gilt mit der Linearität des Cartan-Differntials   und der Bilinearität der symplektischen Form  :
     
  • Lie-Klammern von symplektischen Vektorfeldern sind symplektische Vektorfelder. Für symplektische Vektorfelder   ist:
     

Lie-Algebra der symplektischen Vektorfelder

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Gemäß der Lemmata bilden die symplektischen Vektorfelder auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit   einen Vektorraum und mit der Lie-Klammer   sogar eine Lie-Algebra, notiert als  . Diese ist für geschlossenes   die Lie-Algebra der Lie-Gruppe der symplektischen Diffeomorphismen  .[3]

Verbindung mit der De-Rham-Kohomologie

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Per Definition ist für ein symplektisches Vektorfeld   die  -Form   geschlossen und erzeugt daher ein Element   der ersten De-Rham-Kohomologie. Aufgrund der Bilinearität der symplektischen Form   ist diese Zuordnung eine lineare Abbildung:

 

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. McDuff & Salamon 1998, Seite 83
  2. Brylinski 2007, 2.3.1. Proposition
  3. McDuff & Salamon 1998, Proposition 3.2