Das Laguerre-Polynom
L
n
+
1
(
x
)
{\displaystyle L_{n+1}(x)}
L
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle L_{0}(x)=1}
L
1
(
x
)
=
1
−
x
{\displaystyle L_{1}(x)=1-x}
über die folgende Rekursionsformel berechnen
(
n
+
1
)
L
n
+
1
(
x
)
=
(
(
2
n
+
1
−
x
)
L
n
(
x
)
−
n
L
n
−
1
(
x
)
)
.
{\displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)={\big (}(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x){\big )}.}
Des Weiteren gelten folgende Rekursionsformeln:
L
n
′
(
x
)
=
L
n
−
1
′
(
x
)
−
L
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle L_{n}'(x)=L_{n-1}'(x)-L_{n-1}(x)}
(
x
−
n
−
1
)
L
n
′
(
x
)
=
−
(
n
+
1
)
L
n
+
1
′
(
x
)
−
(
2
n
+
2
−
x
)
L
n
(
x
)
+
(
n
+
1
)
L
n
+
1
(
x
)
{\displaystyle (x-n-1)L_{n}'(x)=-(n+1)L_{n+1}'(x)-(2n+2-x)L_{n}(x)+(n+1)L_{n+1}(x)}
x
L
n
′
(
x
)
=
n
L
n
(
x
)
−
n
L
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle xL_{n}'(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x)}
Eine explizite Formel für die Laguerre-Polynome lautet
L
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
k
!
x
k
{\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}}
Beispiel
Es wird das Polynom
L
3
(
x
)
{\displaystyle L_{3}(x)}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
L
3
(
x
)
=
1
3
(
(
4
+
1
−
x
)
L
2
(
x
)
−
2
L
1
(
x
)
)
{\displaystyle L_{3}(x)={\tfrac {1}{3}}{\big (}(4+1-x)L_{2}(x)-2L_{1}(x){\big )}}
Um dieses Polynom zu erhalten, ist es notwendig, das Polynom
L
2
(
x
)
{\displaystyle L_{2}(x)}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
L
2
(
x
)
=
1
2
(
(
2
+
1
−
x
)
L
1
(
x
)
−
1
L
0
(
x
)
)
=
1
2
(
(
3
−
x
)
(
1
−
x
)
−
1
)
=
1
2
(
3
−
4
x
+
x
2
−
1
)
=
1
2
(
2
−
4
x
+
x
2
)
{\displaystyle L_{2}(x)={\tfrac {1}{2}}{\big (}(2+1-x)L_{1}(x)-1L_{0}(x){\big )}={\tfrac {1}{2}}{\big (}(3-x)(1-x)-1{\big )}={\tfrac {1}{2}}(3-4x+x^{2}-1)={\tfrac {1}{2}}{\big (}2-4x+x^{2}{\big )}}
Somit lautet das Polynom
L
3
(
x
)
{\displaystyle L_{3}(x)}
L
3
(
x
)
=
1
3
(
(
4
+
1
−
x
)
1
2
(
2
−
4
x
+
x
2
)
−
2
(
1
−
x
)
)
=
1
6
(
(
5
−
x
)
(
2
−
4
x
+
x
2
)
−
4
+
4
x
)
=
1
6
(
10
−
20
x
+
5
x
2
−
2
x
+
4
x
2
−
x
3
−
4
+
4
x
)
=
1
6
(
6
−
18
x
+
9
x
2
−
x
3
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{3}(x)&={\tfrac {1}{3}}{\big (}(4+1-x){\tfrac {1}{2}}(2-4x+x^{2})-2(1-x){\big )}={\tfrac {1}{6}}{\big (}(5-x)(2-4x+x^{2})-4+4x{\big )}\\&={\tfrac {1}{6}}(10-20x+5x^{2}-2x+4x^{2}-x^{3}-4+4x)={\tfrac {1}{6}}(6-18x+9x^{2}-x^{3}).\end{aligned}}}
Das
n
{\displaystyle n}
Rodrigues -Formel wie folgt darstellen
L
n
(
x
)
=
e
x
n
!
d
n
d
x
n
(
x
n
e
−
x
)
{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}x^{n}\mathrm {e} ^{-x}{\bigg )}}
und
L
n
(
x
)
=
1
n
!
(
d
d
x
−
1
)
n
x
n
.
{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-1{\bigg )}^{n}x^{n}.}
Aus der ersten Gleichung berechnet sich das Laguerre-Polynom mit der Produktregel für höhere Ableitungen und den Identitäten
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
)
=
(
e
−
x
x
n
)
(
n
)
{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\big )}={\big (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\big )}^{(n)}}
(
e
−
x
)
(
k
)
=
(
−
1
)
k
e
−
x
{\displaystyle \left(\mathrm {e} ^{-x}\right)^{(k)}=(-1)^{k}\mathrm {e} ^{-x}}
(
x
n
)
(
n
−
k
)
=
n
!
k
!
x
k
{\displaystyle {\big (}x^{n}{\big )}^{(n-k)}={\tfrac {n!}{k!}}x^{k}}
L
n
(
x
)
=
e
x
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
)
=
e
x
n
!
(
e
−
x
x
n
)
(
n
)
=
e
x
n
!
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
e
−
x
)
(
k
)
(
x
n
)
(
n
−
k
)
=
e
x
n
!
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
e
−
x
n
!
k
!
x
k
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
k
!
x
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}(x)&={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}^{(n)}={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}{\big )}^{(k)}{\big (}x^{n}{\big )}^{(n-k)}\\\\&={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}\mathrm {e} ^{-x}{\frac {n!}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.\end{aligned}}}
Aus der zweiten Gleichung ergibt sich das Laguerre-Polynom mit dem binomischen Lehrsatz und der Identität
(
d
d
x
)
(
n
−
k
)
x
n
=
(
x
n
)
(
n
−
k
)
=
n
!
k
!
x
k
{\displaystyle {\big (}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\big )}^{(n-k)}x^{n}={\big (}x^{n}{\big )}^{(n-k)}={\tfrac {n!}{k!}}x^{k}}
L
n
(
x
)
=
1
n
!
(
d
d
x
−
1
)
n
x
n
=
1
n
!
(
−
1
+
d
d
x
)
n
x
n
=
1
n
!
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
(
d
d
x
)
(
n
−
k
)
x
n
=
1
n
!
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
(
x
n
)
(
n
−
k
)
=
1
n
!
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
n
!
k
!
x
k
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
k
!
x
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}(x)&={\frac {1}{n!}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-1{\bigg )}^{n}x^{n}={\frac {1}{n!}}{\bigg (}-1+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg )}^{n}x^{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg )}^{(n-k)}x^{n}\\\\&={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\big (}x^{n}{\big )}^{(n-k)}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.\end{aligned}}}
Da die Laguerre-Polynome für
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
Prähilbertraum und keinen Hilbertraum . Deshalb wird eine Gewichtsfunktion eingeführt, welche die Lösung der Differentialgleichung ungeändert lässt und welche dafür sorgt, dass die Laguerre-Polynome quadratintegrierbar werden. Unter diesen Voraussetzungen bilden die Eigenfunktionen
L
n
{\displaystyle L_{n}}
Orthonormalbasis im Hilbertraum
L
2
(
[
0
,
∞
]
,
w
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle L^{2}([0,\infty ],w(x)\mathrm {d} x)}
w
(
x
)
=
e
−
x
{\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x}}
⟨
L
n
,
L
m
⟩
=
∫
0
∞
e
−
x
L
n
(
x
)
L
m
(
x
)
d
x
=
δ
n
m
.
{\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{nm}.}
Hierbei bedeutet
δ
n
m
{\displaystyle \delta _{nm}}
Kronecker-Delta .
Beweis
Teil 1: Zunächst wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht
w
(
x
)
=
e
−
x
{\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x}}
n
≠
m
{\displaystyle n\neq m}
⟨
L
n
,
L
m
⟩
=
∫
0
∞
e
−
x
L
n
(
x
)
L
m
(
x
)
d
x
=
0.
{\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=0.}
Mit dem Sturm-Liouville-Operator
L
=
−
e
x
d
d
x
(
x
e
−
x
d
d
x
)
{\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)}
L
n
,
L
m
{\displaystyle L_{n},L_{m}}
(1)
L
L
n
=
−
e
x
d
d
x
(
x
e
−
x
d
L
n
d
x
)
=
n
L
n
{\displaystyle \quad {\mathcal {L}}L_{n}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)=nL_{n}}
und
(2)
L
L
m
=
−
e
x
d
d
x
(
x
e
−
x
d
L
m
d
x
)
=
m
L
m
{\displaystyle \quad {\mathcal {L}}L_{m}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)=mL_{m}}
Wird Gleichung (1) von links mit
L
m
{\displaystyle L_{m}}
(2) , welche ebenfalls von links mit
L
n
{\displaystyle L_{n}}
(3)
L
n
L
L
m
−
L
m
L
L
n
=
−
L
n
e
x
d
d
x
(
x
e
−
x
d
L
m
d
x
)
+
L
m
e
x
d
d
x
(
x
e
−
x
d
L
n
d
x
)
{\displaystyle \quad L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}=-L_{n}\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)+L_{m}\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)}
und
(4)
L
n
L
L
m
−
L
m
L
L
n
=
(
m
−
n
)
L
m
L
n
{\displaystyle \quad L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}=(m-n)L_{m}L_{n}}
Zunächst wird Gleichung (3) zusammengefasst. Mit der Produktregel für Ableitungen , der Term
−
e
x
{\displaystyle \textstyle -\mathrm {e} ^{x}}
L
n
d
d
x
(
x
e
−
x
d
L
m
d
x
)
=
d
d
x
(
x
e
−
x
L
n
d
L
m
d
x
)
−
(
x
e
−
x
d
L
m
d
x
)
d
L
n
d
x
{\displaystyle \textstyle L_{n}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{n}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)-\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}}
und
L
m
d
d
x
(
x
e
−
x
d
L
n
d
x
)
=
d
d
x
(
x
e
−
x
L
m
d
L
n
d
x
)
−
(
x
e
−
x
d
L
n
d
x
)
d
L
m
d
x
{\displaystyle \textstyle L_{m}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{m}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)-\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}}
Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:
(5)
L
n
L
L
m
−
L
m
L
L
n
=
−
e
x
d
d
x
(
x
e
−
x
L
n
d
L
m
d
x
)
+
e
x
d
d
x
(
x
e
−
x
L
m
d
L
n
d
x
)
=
−
e
x
d
d
x
(
x
e
−
x
(
L
n
d
L
m
d
x
−
L
m
d
L
n
d
x
)
)
=
−
e
x
d
d
x
(
x
e
−
x
W
(
L
n
,
L
m
)
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\quad L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}&=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{n}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)+\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{m}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)\\\\&=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}x{\mathrm {e} }^{-x}\left(L_{n}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}-L_{m}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right){\bigg )}\\\\&=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}x{\mathrm {e} }^{-x}W(L_{n},L_{m}){\bigg )},\\\end{aligned}}}
wobei
W
(
L
n
,
L
m
)
=
|
L
n
L
m
L
n
′
L
m
′
|
{\displaystyle W(L_{n},L_{m})=\left|{\begin{smallmatrix}L_{n}&L_{m}\\L_{n}'&L_{m}'\end{smallmatrix}}\right|}
Wronski-Determinante der Funktionen
L
n
,
L
m
{\displaystyle L_{n},L_{m}}
Zur Berechnung der Wronski-Determinante mittels der Abelschen Identität wird die Differentialgleichung
L
y
=
−
e
x
d
d
x
(
x
e
−
x
d
d
x
)
y
=
−
x
y
″
−
e
x
(
x
e
−
x
)
′
y
′
=
−
x
y
″
−
(
1
−
x
)
y
′
=
0
{\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}y=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x\mathrm {e} ^{-x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)y=-xy''-\mathrm {e} ^{x}{\big (}x\mathrm {e} ^{-x}{\big )}'y'=-xy''-{\big (}1-x{\big )}y'=0}
y
″
+
1
−
x
x
y
′
=
0
{\displaystyle \textstyle y''+{\frac {1-x}{x}}y'=0}
hebbare Singularität bei
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Fundamentalsystems lautet dann
(
0
1
0
−
1
−
x
x
)
{\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&-{\tfrac {1-x}{x}}\end{smallmatrix}}\right)}
Spur ist
S
p
u
r
(
(
0
1
0
−
1
−
x
x
)
)
=
−
1
−
x
x
{\displaystyle \mathrm {Spur} {\Bigg (}\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&-{\tfrac {1-x}{x}}\end{smallmatrix}}\right){\Bigg )}=-{\frac {1-x}{x}}}
W
(
L
n
,
L
m
)
(
x
)
=
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
exp
(
∫
0
x
(
1
−
1
ξ
)
d
ξ
)
{\displaystyle W(L_{n},L_{m})(x)=W(L_{n},L_{m})(0)\exp \left(\int _{0}^{x}{\bigg (}1-{\frac {1}{\xi }}{\bigg )}\mathrm {d} \xi \right)}
Da
L
n
{\displaystyle L_{n}}
L
m
{\displaystyle L_{m}}
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
>
0
{\displaystyle W(L_{n},L_{m})(0)>0}
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
=
1
{\displaystyle W(L_{n},L_{m})(0)=1}
W
(
L
n
,
L
m
)
(
x
)
=
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
exp
(
∫
0
x
(
1
−
1
ξ
)
d
ξ
)
=
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
exp
(
[
ξ
−
ln
ξ
]
0
x
)
=
lim
ξ
→
x
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
exp
(
ξ
−
ln
ξ
)
−
lim
ξ
→
0
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
exp
(
ξ
−
ln
ξ
)
=
lim
ξ
→
x
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
exp
(
ξ
)
exp
(
ln
ξ
)
−
lim
ξ
→
0
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
exp
(
ξ
)
exp
(
ln
ξ
)
=
lim
ξ
→
x
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
e
ξ
ξ
+
lim
ξ
→
0
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
e
ξ
ξ
=
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
e
x
x
+
lim
ξ
→
0
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
e
ξ
ξ
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}W(L_{n},L_{m})(x)&=W(L_{n},L_{m})(0)\exp \left(\int _{0}^{x}{\bigg (}1-{\frac {1}{\xi }}{\bigg )}\mathrm {d} \xi \right)=W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Bigg (}{\bigg [}\xi -\ln \xi {\bigg ]}_{0}^{x}{\Bigg )}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Big (}\xi -\ln \xi {\Big )}-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Big (}\xi -\ln \xi {\Big )}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\exp(\xi )}{\exp(\ln \xi )}}-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\exp(\xi )}{\exp(\ln \xi )}}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}+\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}\\&=W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}+\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}+C.\end{aligned}}}
Die Integrationskonstante wird
C
=
−
lim
ξ
→
0
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
e
ξ
ξ
{\displaystyle C=-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}}
(5) wird mit
e
−
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{-x}}
e
−
x
(
L
n
L
L
m
−
L
m
L
L
n
)
=
−
d
d
x
(
x
e
−
x
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
e
x
x
)
=
−
d
d
x
(
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{-x}{\big (}L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}{\big )}&=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}x{\mathrm {e} }^{-x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}{\bigg )}\\&=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}W(L_{n},L_{m})(0){\bigg )}\end{aligned}}}
Nach Umformen und Trennung der Variablen lautet die Gleichung nun:
−
e
−
x
(
L
n
L
L
m
−
L
m
L
L
n
)
d
x
=
d
(
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
)
{\displaystyle -\mathrm {e} ^{-x}{\big (}L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}{\big )}\mathrm {d} x=\mathrm {d} {\bigg (}W(L_{n},L_{m})(0){\bigg )}}
Auf beiden Seiten der Gleichung stehen nun eindimensionale Pfaffsche Formen und da
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
{\displaystyle W(L_{n},L_{m})(0)}
d
(
W
(
L
n
,
L
m
)
(
0
)
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} {\Big (}W(L_{n},L_{m})(0){\Big )}=0}
φ
(
t
)
=
t
,
φ
(
t
0
)
=
0
,
φ
(
t
1
)
=
∞
,
φ
˙
(
t
)
=
1
{\displaystyle \varphi (t)=t,\varphi (t_{0})=0,\varphi (t_{1})=\infty ,{\dot {\varphi }}(t)=1}
∫
φ
ω
=
∫
0
∞
ω
φ
(
t
)
(
φ
˙
(
t
)
)
d
t
=
∫
0
∞
w
(
L
n
L
L
m
−
L
m
L
L
n
)
d
t
=
0
{\displaystyle \int _{\varphi }\omega =\int _{0}^{\infty }\omega _{\varphi (t)}({\dot {\varphi }}(t))\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }w{\Big (}L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}{\Big )}\mathrm {d} t=0}
[ 1] Demnach verschwindet das Integral längs dem Intervall
[
0
,
∞
]
{\displaystyle [0,\infty ]}
(4) gilt:
0
=
(
m
−
n
)
∫
0
∞
e
−
x
L
m
L
n
d
t
{\displaystyle 0=(m-n)\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{m}L_{n}\mathrm {d} t}
Diese Bedingung kann nur erfüllt werden, wenn:
⟨
L
n
,
L
m
⟩
=
⟨
L
m
,
L
n
⟩
=
0
{\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\langle L_{m},L_{n}\rangle =0}
Teil 2: Im Folgenden wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht
w
(
x
)
=
e
−
x
{\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x}}
beschränkt sind,[ 2]
n
=
m
{\displaystyle n=m}
⟨
L
n
,
L
m
⟩
=
∫
e
−
x
L
n
(
x
)
L
m
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int \mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=1}
⟨
L
n
,
L
n
⟩
=
1
{\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =1}
Für den Beweis wird einerseits die Reihendarstellung
L
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
k
!
x
k
{\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}}
L
n
(
x
)
=
e
x
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
)
{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}}
⟨
L
n
,
L
n
⟩
=
∫
0
∞
e
−
x
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
k
!
x
k
e
x
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
)
d
x
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
k
!
∫
0
∞
x
k
1
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
)
d
x
{\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\int _{0}^{\infty }x^{k}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x}
Für
n
=
0
{\displaystyle n=0}
d
n
=
0
d
x
n
=
0
(
e
−
x
x
0
)
=
e
−
x
x
0
{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{n=0}}{\mathrm {d} x^{n=0}}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}x^{0}{\big )}=\mathrm {e} ^{-x}x^{0}}
⟨
L
n
,
L
n
⟩
=
∫
0
∞
x
0
(
e
−
x
x
0
)
d
x
=
∫
0
∞
e
−
x
d
x
=
−
[
e
−
x
]
0
∞
=
1
{\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =\int _{0}^{\infty }x^{0}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{0}{\bigg )}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {d} x=-{\bigg [}\mathrm {e} ^{-x}{\bigg ]}_{0}^{\infty }=1}
Wird nun für
n
>
0
{\displaystyle n>0}
⟨
L
n
,
L
n
⟩
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
−
1
)
k
k
!
∫
0
∞
x
k
1
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
)
d
x
+
(
−
1
)
n
n
!
∫
0
∞
x
n
1
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
)
d
x
.
{\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\int _{0}^{\infty }x^{k}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x+{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x.}
Durch diese Zerlegung wird der Grad des Polynoms in der Summe um 1 reduziert und in der Folge gilt
⟨
L
(
n
−
1
)
,
L
n
⟩
=
0
{\displaystyle \langle L_{(n-1)},L_{n}\rangle =0}
Teil 1 gezeigt. Es verbleibt somit lediglich der zweite Term, der mit partieller Integration berechnet wird, also:
⟨
L
n
,
L
n
⟩
=
(
−
1
)
n
n
!
∫
0
∞
x
n
1
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
)
d
x
=
(
−
1
)
n
n
!
[
x
n
1
n
!
d
(
n
−
1
)
d
x
(
n
−
1
)
(
e
−
x
x
n
)
]
0
∞
−
n
(
−
1
)
n
n
!
∫
0
∞
x
(
n
−
1
)
1
n
!
d
(
n
−
1
)
d
x
(
n
−
1
)
(
e
−
x
x
n
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle L_{n},L_{n}\rangle &={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\bigg [}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}{\bigg ]}_{0}^{\infty }-n{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-1)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\end{aligned}}}
Die Stammfunktion wurde mithilfe der Produktregel berechnet und es ergibt sich im Grenzwert
lim
x
→
0
x
n
1
n
!
d
(
n
−
1
)
d
x
(
n
−
1
)
(
e
−
x
x
n
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
lim
x
→
0
x
n
1
n
!
(
n
k
)
(
e
−
x
)
k
(
x
n
)
(
n
−
k
)
=
0
{\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\big )}=\sum _{k=0}^{n-1}\lim _{x\to 0}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\binom {n}{k}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}{\big )}^{k}{\big (}x^{n}{\big )}^{(n-k)}=0}
lim
x
→
∞
{\displaystyle \textstyle \lim _{x\to \infty }}
n
{\displaystyle n}
⟨
L
n
,
L
n
⟩
=
(
−
1
)
1
n
(
−
1
)
n
n
!
∫
0
∞
x
(
n
−
1
)
1
n
!
d
(
n
−
1
)
d
x
(
n
−
1
)
(
e
−
x
x
n
)
d
x
=
(
−
1
)
2
n
(
n
−
1
)
(
−
1
)
n
n
!
∫
0
∞
x
(
n
−
2
)
1
n
!
d
(
n
−
2
)
d
x
(
n
−
2
)
(
e
−
x
x
n
)
d
x
⋮
=
(
−
1
)
n
n
!
(
−
1
)
n
n
!
∫
0
∞
x
(
n
−
n
)
1
n
!
d
(
n
−
n
)
d
x
(
n
−
n
)
(
e
−
x
x
n
)
d
x
=
(
−
1
)
2
n
n
!
∫
0
∞
e
−
x
x
n
d
x
=
1
n
!
∫
0
∞
e
−
x
x
n
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle L_{n},L_{n}\rangle &=(-1)^{1}n{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-1)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&=(-1)^{2}n(n-1){\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-2)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-2)}}{\mathrm {d} x^{(n-2)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&\;\;\vdots \\&=(-1)^{n}n!{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-n)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-n)}}{\mathrm {d} x^{(n-n)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&={\frac {(-1)^{2n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x\end{aligned}}}
Mittels weiterer
n
{\displaystyle n}
∫
0
∞
e
−
x
x
n
d
x
=
n
!
{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=n!}
⟨
L
n
,
L
n
⟩
=
1
{\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =1}
Aus Teil 1 und Teil 2 ergibt sich:
⟨
L
n
,
L
m
⟩
=
∫
0
∞
e
−
x
L
n
(
x
)
L
m
(
x
)
d
x
=
δ
n
m
.
{\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{nm}.}
◻
{\displaystyle \Box }
Eine erzeugende Funktion für das Laguerre-Polynom lautet
∑
n
=
0
∞
L
n
(
x
)
t
n
=
1
1
−
t
e
−
t
x
1
−
t
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-t}}e^{-{\frac {tx}{1-t}}}}
![{\displaystyle [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52088d5605716e18068a460dec118214954a68e9)
![{\displaystyle L^{2}([0,\infty ],w(x)\mathrm {d} x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619373e228c51e399e63fe05b27c8b1e64e40dfe)
![{\displaystyle {\begin{aligned}W(L_{n},L_{m})(x)&=W(L_{n},L_{m})(0)\exp \left(\int _{0}^{x}{\bigg (}1-{\frac {1}{\xi }}{\bigg )}\mathrm {d} \xi \right)=W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Bigg (}{\bigg [}\xi -\ln \xi {\bigg ]}_{0}^{x}{\Bigg )}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Big (}\xi -\ln \xi {\Big )}-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Big (}\xi -\ln \xi {\Big )}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\exp(\xi )}{\exp(\ln \xi )}}-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\exp(\xi )}{\exp(\ln \xi )}}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}+\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}\\&=W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}+\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}+C.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564ae29e9266412c3a404c26fcb0e43f8ed32baf)
![{\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =\int _{0}^{\infty }x^{0}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{0}{\bigg )}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {d} x=-{\bigg [}\mathrm {e} ^{-x}{\bigg ]}_{0}^{\infty }=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7680296d9dd24d5079f6f96a12350ebc532f5fb8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle L_{n},L_{n}\rangle &={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\bigg [}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}{\bigg ]}_{0}^{\infty }-n{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-1)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8905a83663b8b0b8f61eced14ee8409c30ebb852)
![{\displaystyle L_{2}^{k}(x)={\frac {1}{2}}\,\left[x^{2}-2\,(k+2)\,x+(k+1)(k+2)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae15ad7b67ff44bbd7e3003468ef214b46a99f37)
![{\displaystyle L_{3}^{k}(x)={\frac {1}{6}}\,\left[-x^{3}+3\,(k+3)\,x^{2}-3\,(k+2)\,(k+3)\,x+(k+1)\,(k+2)\,(k+3)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3908ce0eabd5a11f1e577eff87d3829369bfddc5)
![{\displaystyle \Psi _{n,l,m}(r,\vartheta ,\varphi )={\sqrt {\frac {4\,(n-l-1)!}{(n+l)!\;n\,(na_{0}/Z)^{3}}}}\left[{\frac {2r}{na_{0}/Z}}\right]^{l}\exp {\left\{-{\frac {r}{na_{0}/Z}}\right\}}\;L_{n-l-1}^{2l+1}\left({\frac {2r}{na_{0}/Z}}\right)\;Y_{l,m}(\vartheta ,\varphi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c656de94c4f217677df1ae610d165293d61938)
