In der Mathematik ist eine Lambert-Reihe eine spezielle Reihe. Benannt ist sie nach Johann Heinrich Lambert.

Definition

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Die Lambert-Reihe ist eine Reihe mit dieser Form:

 

Die Lambertsche L-Funktion bilden den Spezialfall dieser Reihe mit   für alle Werte n:

 

Eigenschaften

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Konvergenz

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Für   konvergiert die Lambert-Reihe nicht. Für   konvergiert sie stets dann, wenn die Reihe   konvergiert. Konvergiert   nicht, dann konvergiert die Lambert-Reihe für alle  , für die die Potenzreihe   konvergiert (Satz von Konrad Knopp).

Lambert-Reihe als Potenzreihe

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Die Lambert-Reihe kann für   in eine geometrische Reihe

 

entwickelt werden, wobei sich die Koeffizienten   der neuen Reihe durch Dirichlet-Faltung von   mit der konstanten Folge   ergeben:

 

Alternative Form

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Setzt man  , so erhält man eine andere übliche Form der Reihe

 

wieder mit

 

Beispiele der Lambert-Reihe in dieser Form, mit  , treten in Ausdrücken der Riemannschen Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen auf.

Anwendung

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Einige unendliche Summen können durch die Lambertsche L-Funktion dargestellt werden.[1][2]

Unendliche Summe geradstelliger Fibonacci-Zahlen (mit dem griechischen Buchstaben Phi wird die Goldene Zahl dargestellt):

 

Unendliche Summe der Kehrwerte geradstelliger Pell-Zahlen:

 

Darstellung der Erdős-Borwein-Konstante mit der Lambertschen L-Funktion:

 

Unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der Zweierpotenzen:

 

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. In: wayback.cecm.sfu.ca. Abgerufen am 12. Mai 2023.
  2. Eric W. Weisstein: Erdős-Borwein Constant. In: MathWorld (englisch).