Leray-Spektralsequenz

In der Mathematik ist die Leray-Spektralsequenz ein Hilfsmittel zur Berechnung der Garbenkohomologie.

Definition

Sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Betrachte den Funktor $f_{*}$, der jeder Garbe ${\mathcal {F}}$ über $X$ ihr direktes Bild $f_{*}{\mathcal {F}}$ über $Y$ zuordnet. Seien $R^{i}f_{*}$ seine abgeleiteten Funktoren. Dann gibt es eine Spektralsequenz mit

$E_{2}^{p,q}=H^{p}(Y,R^{q}f_{*}({\mathcal {F}}))$,

die gegen

$E_{\infty }^{p,q}=H^{p+q}(X,{\mathcal {F}})$

konvergiert.

Zugang über Doppelkomplexe für Garben von Differentialformen

Sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten. Für eine Überdeckung ${\mathcal {U}}$ von $Y$ definiere einen Doppelkomplex als Čech-Komplex $C^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega ^{q})$ für die Garbe der Differentialformen $\Omega ^{*}$.

Falls ${\mathcal {U}}$ eine gute Überdeckung ist, dann ist die Kohomologie dieses Doppelkomplexes die De-Rham-Kohomologie $H_{dR}^{*}(X)$. Zu dem Doppelkomplex hat man eine Spektralsequenz mit $E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {H}}_{dR}^{q})$.

Anwendung auf Faserbündel

Für ein Faserbündel $f\colon E\to B$ mit Faser $F$ erhält man eine gegen $E_{\infty }^{p,q}=H^{p+q}(E)$ konvergierende Spektralsequenz mit $E_{2}^{p,q}=H^{p}(B,{\mathcal {H}}^{q}(F))$.

Für Sphärenbündel kann man daraus die Gysin-Sequenz herleiten.

Die Verallgemeinerung der Leray-Spektralsequenz auf Serre-Faserungen wird als Leray-Serre-Spektralsequenz bezeichnet.

Weblinks

• Leray spectral sequence (Encyclopedia of Mathematics)
• Leray spectral sequence (nLab)