Levi-Zerlegung (Lie-Gruppe)

Im mathematischen Gebiet der Theorie der Lie-Gruppen liefert die Levi-Zerlegung eine Zerlegung von Lie-Gruppen als semidirektes Produkt einer auflösbaren und einer reduktiven Lie-Gruppe. Sie ergibt sich aus der Levi-Zerlegung von Lie-Algebren und dient in der Regel dazu, das Studium allgemeinerer Lie-Gruppen auf die Untersuchung halbeinfacher Lie-Gruppen zu reduzieren.

Sie ist nach Eugenio Elia Levi benannt.

Levi-Zerlegung und Levi-Untergruppe

Es sei $G$ eine einfach zusammenhängende Lie-Gruppe und $R$ ihr Radikal, d. h. ein maximaler abgeschlossener, auflösbarer Normalteiler. Dann gibt es eine abgeschlossene, einfach zusammenhängende Untergruppe $S\subset G$ mit $R\cap S=\left\{e\right\}$, so dass die Abbildung

$(r,s)\to rs,r\in R,s\in S$

ein Diffeomorphismus der Mannigfaltigkeit $R\times S$ auf $G$ ist.

Die Zerlegung als semidirektes Produkt

$G=R\rtimes S$

heißt Levi-Zerlegung (auch Levi–Mal'tsev Zerlegung oder Chevalley-Zerlegung), die Untergruppe $S$ heißt Levi-Untergruppe. Die Levi-Zerlegung ist nicht eindeutig bestimmt.

Wenn $G$ nicht einfach zusammenhängend ist, muss die Levi-Untergruppe im Allgemeinen keine abgeschlossene Untergruppe sein. Sie ist aber stets abgeschlossen, wenn $H$ eine (nicht notwendig einfach zusammenhängende) lineare Gruppe (d. h. eine abgeschlossene Untergruppe von $GL(n,\mathbb {C} )$) oder allgemeiner eine über $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ definierte algebraische Gruppe ist.

Eigenschaften

• Die Levi-Untergruppe $S$ ist eine reduktive Gruppe.
• Eine Untergruppe ist genau dann die Levi-Untergruppe einer Levi-Zerlegung, wenn sie eine maximale reduktive Untergruppe ist.
• Jede reduktive Untergruppe von $G$ ist zu einer Untergruppe von $S$ konjugiert.
• Insbesondere sind alle Levi-Untergruppen zueinander konjugiert.

Satz von Mostow

Der Satz von Mostow besagt, dass es auch für jede zusammenhängende algebraische Gruppe über einem Körper der Charakteristik $0$ eine Levi-Zerlegung gibt. Für algebraische Gruppen über Körpern der Charakteristik $p>0$ ist das im Allgemeinen nicht richtig.

Levi-Mostow-Zerlegung von Gittern

Es sei $G$ eine einfach zusammenhängende Lie-Gruppe, deren Levi-Untergruppe $S$ keinen kompakten Faktor hat. Dann gibt es in jedem Gitter $\Gamma \subset G$ eine Untergruppe von endlichem Index $\Gamma ^{*}\subset \Gamma$, die sich stetig in ein Gitter $\Gamma ^{\prime }$ deformieren lässt, das ein semidirektes Produkt $\Gamma ^{\prime }=(\Gamma \cap R)\rtimes (\Gamma ^{\prime }\cap S)$ des Gitters $\Gamma \cap R\subset R$ mit einem Gitter $\Gamma ^{\prime }\cap S\subset S$ ist.

Literatur

• E.E. Levi: Sulla struttura dei gruppi finiti e continui. In: Atti. Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., 40, 1905, S. 551–565 (italienisch).
• A.I. Mal'tsev: On the representation of an algebra as a direct sum of the radical and a semi-simple subalgebra. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR, 36, 1942, S. 2, 42–45 (russisch)
• N. Jacobson: Lie algebras. Republication of the 1962 original. Dover Publications, New York 1979, ISBN 0-486-63832-4.
• A.A. Kirillov: Elements of the theory of representations. Translated from the Russian by Edwin Hewitt. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 220. Springer-Verlag, Berlin / New York 1976.
• M.A. Naĭmark, A.I. Štern: Theory of group representations. Translated from the Russian by Elizabeth Hewitt. Translation edited by Edwin Hewitt. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 246. Springer-Verlag, New York 1982, ISBN 0-387-90602-9.

Weblinks

• Levi-Mal'tsev decomposition. Encyclopedia of Mathematics