Die reduktive Gruppe ist ein Begriff der Mathematik, der vor allem in der Darstellungstheorie und der geometrischen Invariantentheorie von Bedeutung ist.

Definition

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Eine reduktive Gruppe   ist eine algebraische Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper  , die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • Das Radikal der Komponente der Eins   ist ein algebraischer Torus, insbesondere also eine abelsche Gruppe.
  • Das unipotente Radikal von   ist die triviale Gruppe. Mit anderen Worten:   hat keine abgeschlossenen, zusammenhängenden und unipotenten Normalteiler.
  • Die Gruppe ist das Produkt   zweier abgeschlossener Normalteiler   und  , wobei   halbeinfach und   ein algebraischer Torus ist.

Im letzten Fall ist   und   das Radikal von  , der Durchschnitt   ist endlich und jede halbeinfache oder unipotente Untergruppe von   ist in   enthalten.

Im Fall   ist   genau dann reduktiv, wenn jede Darstellung vollständig reduzibel ist und dies ist genau dann der Fall, wenn die adjungierte Darstellung vollständig reduzibel ist.

Im Fall   ist   genau dann reduktiv, wenn sie die Komplexifizierung einer zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppe ist.

Beispiele

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Sei   ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann sind die folgenden Gruppen reduktiv.

Reduktive Gruppenschemata

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Reduktivität kann für Gruppenschemata über beliebigen Basisschemata definiert werden. Dabei wird aus technischen Gründen eine Zusammenhangsbedingung gefordert.[1]

Ein reduktives Gruppenschema über einem Schema   ist ein glattes  -affines  -Gruppenschema  , sodass alle geometrischen Fasern   von   zusammenhängende reduktive Gruppen im Sinne der Definition im ersten Abschnitt sind.[2]

Ist   das Spektrum eines algebraisch abgeschlossenen Körpers  , so ergibt sich die Definition von zusammenhängenden reduktiven Gruppen. In diesem Fall ist nämlich   ein geometrischer Punkt und für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper  , der   erweitert, ist der Basiswechsel   einer zusammenhängenden reduktiven Gruppe   wieder zusammenhängend und reduktiv.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Die Gründe für diese Einschränkung sind in Conrad §3 ausgeführt.
  2. Conrad: Def. 3.1.1