Liste orthogonaler Koordinatensysteme

Diese Liste orthogonaler Koordinatensysteme führt orthogonale Koordinatensysteme im zwei oder dreidimensionalen euklidischen Raum auf.^[1]^[2]^[3] Das Attribut orthogonal wird für alle im Folgenden behandelten Koordinatensysteme im Stillen vorausgesetzt.

Die Tabellen enthalten folgende Spalten:

Form

Die meisten Koordinatensysteme besitzen im deutschen Sprachraum keine etablierte Bezeichnung, was auch oft im angelsächsischen Sprachraum der Fall ist. Die Angabe in der ersten Spalte soll die Koordinatenflächen charakterisieren.

Komplexe Transformation (nur bei zylindrischen Koordinatensystemen)

Zylindrische Koordinatensysteme entstehen durch Extrusion senkrecht zur xy-Ebene, die auch als komplexe Ebene von Zahlen z=x+i y mit imaginärer Einheit i²=-1 aufgefasst werden kann. Die in dieser Spalte eingetragene Holomorphe Funktion z=f(ζ) der komplexen Zahl ζ=u+i v, transformiert die Koordinatenlinien des jeweiligen Koordinatensystems winkeltreu in die Koordinatenlinien des kartesischen Koordinatensystems. Die Koordinatenlinien werden zu namensgebenden Zylindern extrudiert, die keineswegs kreisförmige oder geschlossene Querschnitte besitzen müssen.

Umrechnung

Hier wird der Zusammenhang mit den kartesischen Koordinaten angegeben. Als Funktionen werden benutzt:

Winkelfunktionen sin, cos, tan, csc, sec, cot,
Hyperbelfunktionen sinh, cosh, tanh, csch, sech, coth,
Jacobische elliptische Funktionen sn, cn, dn. Die Variable u ist mit dem elliptischen Modul k und v mit dem komplementären Parameter k' assoziiert.
Exponentialfunktionen a^…, e^…=exp(…)
Logarithmusfunktionen log_a, ln

Metrikkoeffizienten: Dies sind die Betragsquadrate der kovarianten Basisvektoren $g_{ii}:=|{\vec {g}}_{i}|^{2}$ des Koordinatensystems. Deren Wurzeln sind die Metrischen Faktoren $h_{i}:={\sqrt {g_{ii}}}$ , die in den Formeln für Skalar- und Kreuzprodukt sowie den Differentialoperatoren auftauchen.
Trennbarkeit: Hier wird angegeben, ob die Trennung der Veränderlichen in der Laplace- oder Helmholtz-Gleichung im Raum (3D) oder in der Ebene (2D) mit dem einfachen Ansatz (S) oder dem allgemeinen Ansatz (R) oder gar nicht (X) gelingt.

Durch Extrusion senkrecht zur xy-Ebene entstehen #Zylindrische Koordinaten^[1]^:79ff und durch Rotation um eine in der Ebene liegende Achse #Rotierte Koordinaten.^[1]^:99ff Mit Hyperlinks ^↓R ^↑Z kann gegebenenfalls vom zylindrischen Koordinatensystem zum verwandten rotierten bzw. andersherum gesprungen werden.

Spezielle Koordinatensysteme

Diese Gruppe umfasst das Kartesische Koordinatensystem und Koordinatensysteme die weder durch Extrusion noch durch Rotation erhalten werden.

Form	Umrechnung	Metrikkoeffizienten	Trennbarkeit
			Helmholtz		Laplace
			3D	2D	3D	2D
Kartesisch	${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=\mathbf {Q} {\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}},$ Q∈SO(3)	$g_{11}=g_{22}=g_{33}=1$	S	S	S	S
Ellipsoid, ɑ,b∈ℝ	${\begin{aligned}x=&{\sqrt {\frac {(u^{2}-a^{2})(v^{2}-a^{2})(w^{2}-a^{2})}{a^{2}(a^{2}-b^{2})}}}\\y=&{\sqrt {\frac {(u^{2}-b^{2})(v^{2}-b^{2})(w^{2}-b^{2})}{b^{2}(b^{2}-a^{2})}}}\\z=&{\frac {uvw}{ab}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&{\frac {(u^{2}-v^{2})(u^{2}-w^{2})}{(u^{2}-a^{2})(u^{2}-b^{2})}}\\g_{22}=&{\frac {(v^{2}-u^{2})(v^{2}-w^{2})}{(v^{2}-a^{2})(v^{2}-b^{2})}}\\g_{33}=&{\frac {(w^{2}-u^{2})(w^{2}-v^{2})}{(w^{2}-a^{2})(w^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}$	S	S	S	S
Paraboloid, ɑ,b∈ℝ	${\begin{aligned}x=&{\sqrt {\frac {4(u-a)(a-v)(a-w)}{a-b}}}\\y=&{\sqrt {\frac {4(u-b)(v-b)(b-w)}{a-b}}}\\z=&u+v+w-a-b\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&{\frac {(u-v)(u-w)}{(u-a)(u-b)}}\\g_{22}=&{\frac {(u-v)(v-w)}{(a-v)(v-b)}}\\g_{33}=&{\frac {(u-w)(v-w)}{(a-w)(b-w)}}\end{aligned}}$	S	S	S	S
Kegel, b,c∈ℝ	${\begin{aligned}x=&{\frac {uvw}{bc}}\\y=&{\frac {u{\sqrt {(v^{2}-b^{2})(b^{2}-w^{2})}}}{b{\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}}\\z=&{\frac {u{\sqrt {(c^{2}-v^{2})(c^{2}-w^{2})}}}{c{\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}}\\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&1\\g_{22}=&{\frac {u^{2}(v^{2}-w^{2})}{(v^{2}-b^{2})(c^{2}-v^{2})}}\\g_{33}=&{\frac {u^{2}(v^{2}-w^{2})}{(b^{2}-w^{2})(c^{2}-w^{2})}}\end{aligned}}$	S	S	S	S

Zylindrische Koordinaten

Diese Systeme entstehen durch Extrusion senkrecht zur xy-Ebene (in z-Richtung). Die dritte Koordinate ist die Höhe z über der xy-Ebene (nicht zu verwechseln mit der komplexen Zahl gleichen Namens in der Spalte Komplexe Transformation.)^[1]^:79ff

Form	Komplexe Transformation	Umrechnung	Metrikkoeffizienten	Trennbarkeit
				Helmholtz		Laplace
				3D	2D	3D	2D
Polar ^↓R	$z=e^{\zeta }$	${\begin{aligned}x=&e^{u}\cos(v)\\y=&e^{u}\sin(v)\\z=&z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=e^{2u}\\g_{33}=&1\\\end{aligned}}$	S	S	S	S
Parabolisch ^↓R	$z={\tfrac {1}{2}}\zeta ^{2}$	${\begin{aligned}x=&{\frac {u^{2}-v^{2}}{2}}\\y=&uv\\z=&z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=u^{2}+v^{2}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$	S	S	S	S
Elliptisch,^↓Rx,^↓Ry ɑ∈ℝ	$z=a\cosh(\zeta )$	${\begin{aligned}x=&a\cosh(u)\cos(v)\\y=&a\sinh(u)\sin(v)\\z=&z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&g_{11}=g_{22}=\dots \\&=a^{2}[\cosh(u)^{2}-\cos(v)^{2}]\\&g_{33}=1\end{aligned}}$	S	S	S	S
Bipolar, ^↓Rx,^↓Ry ɑ∈ℝ	${\bar {z}}=a{\frac {e^{\zeta }+1}{e^{\zeta }-1}}$	${\begin{aligned}x=&{\frac {a\sinh(u)}{\cosh(u)-\cos(v)}}\\y=&{\frac {a\sin(v)}{\cosh(u)-\cos(v)}}\\z=&z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&g_{11}=g_{22}=\dots \\&={\frac {a^{2}}{[\cosh(u)-\cos(v)]^{2}}}\\&g_{33}=1\end{aligned}}$	X	X	X	S
Tangierende Zylinder^↓R	${\bar {z}}={\frac {1}{\zeta }}$	${\begin{aligned}x=&{\frac {u}{u^{2}+v^{2}}}\\y=&{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}\\z=&z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=g_{22}=&(u^{2}+v^{2})^{-2}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$	X	X	X	S
Kardioidisch ^↓R	${\bar {z}}={\frac {1}{2\zeta ^{2}}}$	${\begin{aligned}x=&{\frac {u^{2}-v^{2}}{2(u^{2}+v^{2})^{2}}}\\y=&{\frac {uv}{(u^{2}+v^{2})^{2}}}\\z=&z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=(u^{2}+v^{2})^{-3}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$	X	X	X	S
Hyperbel ^↓R	$z={\sqrt {2\zeta }}$	${\begin{aligned}x=&{\sqrt {\rho +u}}\\y=&{\sqrt {\rho -u}}\\z=&z\\\rho =&{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}={\frac {1}{2\rho }}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$	X	X	X	S
Rosette	${\bar {z}}={\sqrt {\frac {2}{\zeta }}}$	${\begin{aligned}x=&{\frac {{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}+u}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}\\y=&{\frac {{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}-u}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}\\z=&z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}={\frac {1}{2(u^{2}+v^{2})^{\frac {3}{2}}}}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$	X	X	X	S
Cassinische Kurve, ɑ∈ℝ	$z=a{\sqrt {e^{\zeta }+1}}$	${\begin{aligned}x=&a{\sqrt {\frac {e^{u+1}[1+\cos(v)]}{2}}}\\y=&a{\sqrt {\frac {e^{u+1}[1-\cos(v)]}{2}}}\\z=&z\\\rho :=&{\sqrt {e^{2u}+2e^{u}\cos(v)+1}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}={\frac {a^{2}e^{2u}}{4\rho }}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$	X	X	X	S
Inverse Cassinische Kurve, ɑ∈ℝ	${\bar {z}}={\frac {a}{\sqrt {e^{\zeta }+1}}}$	${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{{\sqrt {2}}\rho }}{\sqrt {\rho +e^{u}\cos(v)+1}}\\y=&{\frac {a}{{\sqrt {2}}\rho }}{\sqrt {\rho -e^{u}\cos(v)-1}}\\z=&z\\\rho :=&{\sqrt {e^{2u}+2e^{u}\cos(v)+1}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}={\frac {a^{2}e^{2u}}{4\rho ^{3}}}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$	X	X	X	S
Trisektrix von Maclaurin, ɑ∈ℝ	$z={\frac {a}{\pi }}(1+\zeta +e^{\zeta })$	${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{\pi }}\left[1+u+e^{u}\cos(v)\right]\\y=&{\frac {a}{\pi }}\left[v+e^{u}\sin(v)\right]\\z=&z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&{\frac {a^{2}[e^{2u}+2e^{u}\cos(v)+1]}{\pi ^{2}}}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$	X	X	X	S
Logarithmus, ɑ∈ℝ	$z={\frac {2a}{\pi }}\ln(\zeta )$	${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{\pi }}\ln(u^{2}+v^{2})\\y=&{\frac {2a}{\pi }}{\rm {atan2}}(v,u)\\z=&z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}={\frac {4a^{2}}{\pi ^{2}(u^{2}+v^{2})}}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$	X	X	X	S
periodische Spitzen, ɑ∈ℝ	$z={\frac {2a}{\pi }}\ln {\big (}\tan(\zeta ){\big )}$	${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{\pi }}\ln \left({\frac {\sin(u)^{2}+\sinh(v)^{2}}{\cos(u)^{2}+\sinh(v)^{2}}}\right)\\y=&{\frac {2a}{\pi }}{\rm {atan2}}{\big (}\sinh(2v),\sin(2u){\big )}\\z=&z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&{\frac {16a^{2}}{\pi ^{2}{\big (}\sinh(2v)^{2}+\sin(2u)^{2}{\big )}}}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$	X	X	X	S
periodische Schütze, ɑ∈ℝ	$z={\frac {2a}{\pi }}\ln \cosh \zeta$	${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{\pi }}\ln {\big (}\cosh(u)^{2}-\sin(v)^{2}{\big )}\\y=&{\begin{array}{ll}{\frac {2a}{\pi }}{\rm {atan2}}{\big (}&\sinh(u)\sin(v),\\&\cosh(u)\cos(v){\big )}\end{array}}\\z=&z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&{\frac {a^{2}{\big (}\sinh(2u)^{2}+\sin(2v)^{2}{\big )}}{\pi ^{2}{\big (}\cosh(u)^{2}-\sin(v)^{2}{\big )}^{2}}}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$	X	X	X	S
Cassinische Kurve, ɑ∈ℝ	${\bar {z}}={\frac {a}{\cosh(\zeta )}}$	${\begin{aligned}x=&{\frac {a\cosh(u)\cos(v)}{\cosh(u)^{2}-\sin(v)^{2}}}\\y=&{\frac {a\sinh(u)\sin(v)}{\cosh(u)^{2}-\sin(v)^{2}}}\\z=&z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&{\frac {a^{2}{\big (}\cosh(u)^{2}-\cos(v)^{2}{\big )}}{{\big (}\cosh(u)^{2}-\sin(v)^{2}{\big )}^{2}}}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$	X	X	X	S
Cassinische Kurve, ɑ∈ℝ	$z=a\,{\rm {sn}}(\zeta ;k)$	${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{\Lambda }}\,{\rm {sn}}(u)\,{\rm {dn}}(v)\\y=&{\frac {a}{\Lambda }}\,{\rm {cn}}(u)\,{\rm {dn}}(u)\,{\rm {sn}}(v)\,{\rm {cn}}(v)\\z=&z\end{aligned}}$	Metrikkoeffizienten siehe nächste Zeile. Elliptische Module siehe #Umrechnung. $\Lambda =1-{\rm {dn}}(u)^{2}\,{\rm {\rm {sn}}}(v)^{2}$	X	X	X	S
Cassinische Kurve, ɑ∈ℝ	${\begin{aligned}g_{11}=&{\frac {a^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big (}{\big (}{\rm {dn}}(u)^{2}+k^{2}\,{\rm {cn}}(u)^{2}{\big )}^{2}{\big (}{\rm {sn}}(u)\,{\rm {cn}}(v)\,{\rm {sn}}(v){\big )}^{2}+{\big (}{\rm {dn}}(u)\,{\rm {cn}}(u)\,{\rm {dn}}(v){\big )}^{2}{\Big )}\\g_{22}=&{\frac {a^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big (}{\big (}{\rm {cn}}(v)^{2}-{\rm {sn}}(v)^{2}{\big )}^{2}{\big (}{\rm {cn}}(u)\,{\rm {dn}}(u)\,{\rm {dn}}(v){\big )}^{2}+{\big (}{k'}^{2}\,{\rm {sn}}(u)\,{\rm {cn}}(v)\,{\rm {sn}}(v){\big )}^{2}{\Big )}\\g_{33}=&1\end{aligned}}$

Rotierte Koordinaten

Diese Systeme entstehen durch Rotation der Koordinatenlinien in der xy-Ebene um eine in der Ebene liegende Achse. Die dritte Koordinate ist der Drehwinkel ψ.^[1]^:99ff

Form	Umrechnung	Metrikkoeffizienten	Trennbarkeit
			Helmholtz		Laplace
			3D	2D	3D	2D
Polar ^↑Z	${\begin{aligned}x=&u\sin(v)\cos(\psi )\\y=&u\sin(v)\sin(\psi )\\z=&u\cos(\psi )\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&1\\g_{22}=&u^{2}\\g_{33}=&u^{2}\sin(v)^{2}\\\end{aligned}}$	S	S	S	S
Gestreckt Sphäroid,^↑Z ɑ∈ℝ	${\begin{aligned}x=&a\sinh(u)\sin(v)\cos(\psi )\\y=&a\sinh(u)\sin(v)\sin(\psi )\\z=&a\cosh(u)\cos(v)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&a^{2}[\sinh(u)^{2}+\sin(v)^{2}]\\g_{33}=&a^{2}\sinh(u)^{2}\sin(v)^{2}\end{aligned}}$	S	S	S	S
Abgeplattet Sphäroid,^↑Z ɑ∈ℝ	${\begin{aligned}x=&a\cosh(u)\sin(v)\cos(\psi )\\y=&a\cosh(u)\sin(v)\sin(\psi )\\z=&a\sinh(u)\cos(v)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&a^{2}[\sinh(u)^{2}+\sin(v)^{2}]\\g_{33}=&a^{2}\cosh(u)^{2}\sin(v)^{2}\end{aligned}}$	S	S	S	S
Parabolisch ^↑Z	${\begin{aligned}x=&uv\cos(\psi )\\y=&uv\sin(\psi )\\z=&{\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=u^{2}+v^{2}\\g_{33}=&u^{2}v^{2}\end{aligned}}$	S	S	S	S
Toroidal,^↑Z ɑ∈ℝ	${\begin{aligned}x=&{\frac {a\sinh(u)\cos(\psi )}{\cosh(u)-\cos(v)}}\\y=&{\frac {a\sinh(u)\sin(\psi )}{\cosh(u)-\cos(v)}}\\z=&{\frac {a\sin(v)}{\cosh(u)-\cos(v)}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&{\frac {a^{2}}{[\cosh(u)-\cos(v)]^{2}}}\\g_{33}=&{\frac {a^{2}\sinh(u)^{2}}{[\cosh(u)-\cos(v)]^{2}}}\end{aligned}}$	X	X	R	R
Bizylindrisch,^↑Z ɑ∈ℝ	${\begin{aligned}x=&{\frac {a\sin(v)\cos(\psi )}{\cosh(u)-\cos(v)}}\\y=&{\frac {a\sin(v)\sin(\psi )}{\cosh(u)-\cos(v)}}\\z=&{\frac {a\sinh(u)}{\cosh(u)-\cos(v)}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=\dots \\=&{\frac {a^{2}}{[\cosh(u)-\cos(v)]^{2}}}\\g_{33}=&{\frac {a^{2}\sin(v)^{2}}{[\cosh(u)-\cos(v)]^{2}}}\end{aligned}}$	X	X	R	R
Tangierende Kugeln^↑Z	${\begin{aligned}x=&{\frac {u\cos(\psi )}{u^{2}+v^{2}}}\\y=&{\frac {u\sin(\psi )}{u^{2}+v^{2}}}\\z=&{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}\\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=(u^{2}+v^{2})^{-2}\\g_{33}=&{\frac {u^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{2}}}\end{aligned}}$	X	X	R	R
Kardioidisch ^↑Z	${\begin{aligned}x=&{\frac {uv\cos(\psi )}{(u^{2}+v^{2})^{2}}}\\y=&{\frac {uv\sin(\psi )}{(u^{2}+v^{2})^{2}}}\\z=&{\frac {u^{2}-v^{2}}{2(u^{2}+v^{2})^{2}}}\\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}=(u^{2}+v^{2})^{-3}\\g_{33}=&{\frac {u^{2}v^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{4}}}\end{aligned}}$	X	X	R	R
Hyperboloid ^↑Z	${\begin{aligned}x=&{\sqrt {\rho +u}}\cos(\psi )\\y=&{\sqrt {\rho +u}}\sin(\psi )\\z=&{\sqrt {\rho -u}}\\\rho =&{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}g_{11}=&g_{22}={\frac {1}{2\rho }}\\g_{33}=&\rho +u\end{aligned}}$	X	X	X	X

Literatur

↑ ^a ^b ^c ^d ^e P. Moon, D.E. Spencer: Field Theory Handbook. Including Coordinate Systems, Differential Equations and Their Solutions. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1971, ISBN 3-540-02732-7.
↑ P. Moon, D.E. Spencer: Field Theory For Engineers. D. Van Nostrand Company, Toronto, London, New York 1961 (archive.org).
↑ P. M. Morse, H. Feshbach: Methods of Theoretical Physics, Part I. McGraw-Hill, New York 1953, S. 655 ff. (archive.org).

[Spencer-1] P. Moon, D.E. Spencer: Field Theory Handbook. Including Coordinate Systems, Differential Equations and Their Solutions. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1971, ISBN 3-540-02732-7.

[Moon-2] P. Moon, D.E. Spencer: Field Theory For Engineers. D. Van Nostrand Company, Toronto, London, New York 1961 (archive.org).

[Morse-3] P. M. Morse, H. Feshbach: Methods of Theoretical Physics, Part I. McGraw-Hill, New York 1953, S. 655 ff. (archive.org).

[1]

[2]

[3]