In der Mathematik sind lokal symmetrische Räume eine wichtige Klasse von Beispielen in der Differentialgeometrie, die insbesondere flache Mannigfaltigkeiten und hyperbolische Mannigfaltigkeiten umfasst. Harmonische Analysis auf lokal symmetrischen Räumen hängt eng mit der Theorie automorpher Formen zusammen und hat tiefliegende Anwendungen in der Zahlentheorie.

Eigenschaften

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Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit   ist ein lokal symmetrischer Raum, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt:

  • Zu jedem   gibt es ein  , so dass die geodätische Spiegelung eine Isometrie der  -Kugel   auf sich ist.
  • Die Ableitung des Riemannschen Krümmungstensors verschwindet:
 .
 .

Beispiele

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  • Flache Mannigfaltigkeiten sind von der Form   für ein Gitter   und damit lokal symmetrische Räume.
  • Wenn   eine halbeinfache Lie-Gruppe,   eine maximal kompakte Untergruppe und   eine diskrete torsions-freie Untergruppe ist, dann ist   ein lokal symmetrischer Raum.
  • Für   und   ist   der hyperbolische Raum, insbesondere sind hyperbolische Mannigfaltigkeiten   lokal symmetrisch.
  • Für die Zahlentheorie und die Theorie automorpher Formen bedeutsam sind die lokal symmetrischen Räume  .
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