Lokationsklasse

mathematischer Begriff

Eine Lokationsklasse, auch Lokationsfamilie, Translationsklasse oder Translationsfamilie genannt, ist eine spezielle Verteilungsklasse in der mathematischen Statistik. Anschaulich entstehen Lokationsklassen dadurch, dass eine vorgegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung um einen gewissen Wert verschoben wird. Die Menge all dieser verschobenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen bildet dann die Lokationsklasse. Ein stochastisches Modell, dessen Verteilungsklasse eine Lokationsklasse ist, wird ein Lokationsmodell genannt. Lokationsklassen finden beispielsweise Verwendung bei der Untersuchung von äquivarianten Schätzern und translationsinvarianten Schätzern und gehören zu den Q-invarianten Verteilungsklassen.

Definition

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Auf den reellen Zahlen

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Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung   auf  . Definiere

 

oder äquivalent mit der Dirac-Verteilung   in  

 .

Hierbei bezeichnet   die Faltung der Wahrscheinlichkeitsmaße. Dann heißt

 

die von   erzeugte Lokationsklasse.

In höheren Dimensionen

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Für ein Wahrscheinlichkeitsmaß   auf   definiert man

 ,

wobei   den Einsvektor bezeichnet, also einen Vektor in   mit nur Einsen als Einträgen. Analog zu oben heißt dann

 

die von   erzeugte Lokationsklasse.

Beispiel

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Sei   eine Standardnormalverteilung, also   in Verteilung. Dann ist

 .

Also ist  , die Lokationsklasse besteht somit genau aus den Normalverteilungen mit Varianz eins und Erwartungswert  :

 .

Zu beachten ist jedoch, dass nicht bei allen Verteilungen wie im obigen Beispiel eine Verschiebung um   auf der x-Achse mit einer Veränderung des Lageparameters der Verteilung um   übereinstimmt. Beispiels hierfür wäre die geometrische Verteilung mit dem Erwartungswert als Lageparameter.

Eigenschaften

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Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß   sowie die erzeugte Lokationsklasse  . Dann gilt:

  •   ist genau dann eine dominierte Verteilungsklasse, wenn   dominiert ist, das heißt absolut stetig bezüglich eines σ-endlichen Maßes.
  • Stärker gilt:   ist genau dann absolut stetig bezüglich eines σ-endlichen Maßes  , wenn alle   absolut stetig bezüglich   sind.
  • Bezeichnet man mit   die von   erzeugte Lokationsklasse, so gilt  .
  • Jede Lokationsklasse ist eine Q-invariante Verteilungsklasse bezüglich
 .

Literatur

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