Q-invariante Verteilungsklasse

Eine Q-invariante Verteilungsklasse ist eine spezielle Verteilungsklasse in der mathematischen Statistik, die sich dadurch auszeichnet, dass die in ihr enthaltenen Wahrscheinlichkeitsmaße abgeschlossen sind bezüglich der Bildung von gewissen Bildmaßen. Spezialfall einer Q-invarianten Verteilungsklasse sind die Lokationsklassen und die Skalenfamilien.

Anwendung finden Q-invariante Verteilungsklassen beispielsweise bei der Untersuchung von äquivarianten Schätzern.

Definition

Sei ${\mathcal {Q}}$ eine Gruppe (bezüglich der Verkettung von Funktionen $\circ$) von messbaren Funktionen von $(X,{\mathcal {A}})$ nach $(X,{\mathcal {A}})$.

Sei ${\mathcal {P}}_{\mathcal {Q}}$ eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf $(X,{\mathcal {A}})$ und $P^{f}$ das Bildmaß des Wahrscheinlichkeitsmaßes $P$ unter der Funktion $f$.

Dann heißt ${\mathcal {P}}_{\mathcal {Q}}$ eine Q-invariante Verteilungsklasse, wenn für jedes $P\in {\mathcal {P}}_{\mathcal {Q}}$ und jedes $q\in {\mathcal {Q}}$ gilt, dass

$P^{q}\in {\mathcal {P}}_{\mathcal {Q}}$

ist.

Beispiele

Lokationsklassen

Wählt man $(X,{\mathcal {A}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ und als Gruppe die Gruppe der Translationen auf $\mathbb {R}$, also

$T_{\vartheta }(x):=x-\vartheta {\text{ und }}{\mathcal {Q}}:=\{T_{\vartheta }\,|\,\vartheta \in \mathbb {R} \}$,

so wäre eine Lokationsklasse eine Q-invariante Verteilungsklasse, denn die Lokationsklassen entstehen genau aus der Verschiebung eines Wahrscheinlichkeitsmaßes entlang der x-Achse.

Umgekehrt ist aber nicht jede Q-invariante Verteilungsklasse mit dem oben definierten ${\mathcal {Q}}$ eine Lokationsklasse. Die Q-invariante Verteilungsklasse könnte beispielsweise aus zwei oder mehr unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Verschiebung hervorgegangen sein, was bei Lokationsklassen nicht möglich ist, denn diese sind immer Verschiebungen eines Maßes. Vereinigungen Q-invarianter Verteilungsklassen sind offenbar wieder Q-invariant, für Lokationsklassen gilt das nicht.

Skalenfamilien

Wählt man $(X,{\mathcal {A}})=(\mathbb {R} _{+}^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} _{+}^{n}))$, aber als Gruppe die Gruppe der Multiplikationen mit $\vartheta \in (0,\infty )$, also

$S_{\vartheta }(x):=\vartheta \cdot x{\text{ und }}{\mathcal {Q}}:=\{S_{\vartheta }\,|\,\vartheta \in (0,\infty )\}$,

dann ist für ein vorgegebenes Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ auf $(\mathbb {R} _{+}^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} _{+}^{n}))$ die Menge

${\mathcal {P}}_{\mathcal {Q}}:=\{P^{S}\,|\,S\in {\mathcal {Q}}\}$

eine Q-invariante Verteilungsklasse, die sogenannte von dem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ erzeugte Skalenfamilie.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.