Lusin-Eigenschaft

In der Mathematik ist die Lusin-Eigenschaft eine Eigenschaft von Funktionen, die in der reellen Analysis und Maßtheorie von Bedeutung ist.

Definition

Eine Abbildung hat die Lusin-Eigenschaft, wenn sie Nullmengen auf Nullmengen abbildet. Für Funktionen $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ bedeutet das, dass für jede Menge $N$ vom Lebesgue-Maß $\lambda (N)=0$ auch für die Bildmenge $\lambda (f(N))=0$ gelten muss. (Insbesondere muss die Bildmenge messbar sein, was nicht a priori aus der Definition messbarer Abbildungen folgt.)

Funktionen mit Lusin-Eigenschaft

Jede differenzierbare Funktion hat die Lusin-Eigenschaft.

Allgemeiner hat eine Funktion die Lusin-Eigenschaft, wenn sie außerhalb einer abzählbaren Menge differenzierbar ist.

Die Cantor-Funktion hat die Lusin-Eigenschaft nicht, weil die Cantor-Menge eine Nullmenge, ihr Bild aber das gesamte Einheitsintervall ist. Dies zeigt, dass eine Funktion nicht die Lusin-Eigenschaft haben muss, wenn sie außerhalb einer Nullmenge differenzierbar ist.

Literatur

• N. N. Lusin: The integral and trigonometric series (russisch). (Dissertation, erschienen in den gesammelten Abhandlungen, S. 48–212, Moskau, 1953.)

Weblinks

• Luzin-N-property (Encyclopedia of Mathematics)