Maaßsche Wellenform

Teilgebiet der Mathematik
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Maaßsche Formen oder auch Maaßsche Wellenformen werden in der Theorie der automorphen Formen, einem Teilgebiet der Mathematik untersucht. Im klassischen Sinne sind Maaßsche Formen komplexwertige, glatte Funktionen der oberen Halbebene , die ein ähnliches Transformationsverhalten unter der Operation einer diskreten Untergruppe von auf der oberen Halbebene aufweisen, wie das der Modulformen. Sie sind Eigenformen des hyperbolischen Laplace-Operators auf und erfüllen gewisse Wachstumsbedingungen in den Spitzen eines Fundamentalbereichs von . Im Gegensatz zu den Modulformen müssen Maaßsche Formen nicht holomorph sein. Sie wurden als erstes von Hans Maaß im Jahre 1949 untersucht.

Allgemeines

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Die spezielle lineare Gruppe

 

operiert auf der oberen Halbebene   durch die Möbius-Transformationen

 .

Diese Operation kann zu einer Operation auf   erweitert werden, indem man definiert:

 ,
 

Auf der oberen Halbebene   ist durch

 

ein unter der Operation von   invariantes Radon-Maß gegeben.

Sei   eine diskrete Untergruppe von  . Ein Fundamentalbereich zu   ist eine offene Teilmenge  , sodass ein Vertretersystem   von   existiert mit

  und  .

Ein Fundamentalbereich für die Modulgruppe   ist gegeben durch

 

(siehe Modulform). Eine Funktion   heißt  -invariant, falls   für jedes   und jedes   gilt. Für jede messbare  -invariante Funktion   gilt dann

 ,

wobei das   auf der rechten Seite der Gleichung das auf dem Quotienten induzierte Maß darstellt.

Klassische Maaßsche Wellenformen

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Definition des hyperbolischen Laplace-Operators

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Der hyperbolische Laplace-Operator auf der Halbebene   ist definiert durch

 ,

mit

 

Dies entspricht gerade dem (verallgemeinerten) Laplace-Operator beziehungsweise Laplace-Beltrami-Operator bezüglich der hyperbolischen Metrik auf der hyperbolischen Ebene  .

Definition einer Maaßschen Wellenform

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Eine Maaßsche Wellenform zur Gruppe   ist eine glatte Funktion   auf  , sodass

  1.   für alle  ,  ,
  2.   für ein  .
  3. Es existiert ein   mit   für  

Gilt außerdem

  für jedes  

dann nennt man   eine Maaßsche Spitzenform.

Zusammenhang von Maaßschen Wellenformen und Dirichletreihen

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Sei nun   eine Maaßsche Wellenform. Dann gilt wegen  

 .

Damit hat   eine Fourier-Entwicklung der Gestalt

 ,

mit Koeffizientenfunktionen   Man kann nachrechnen, dass   genau dann eine Maaßsche Spitzenform ist, wenn   gilt. Diese Koeffizientenfunktionen können genau angegeben werden, dafür benötigt man die K-Besselfunktion.

Definition: Die K-Besselfunktion ist für   definiert durch

 .

Das Integral konvergiert für   lokal gleichmäßig in   und es gilt die Abschätzung

  falls  .

Damit fällt   betragsmäßig exponentiell für  . Außerdem gilt   für alle  ,  .

Satz: Fourierkoeffizienten einer Maaßschen Wellenform

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Sei   der Eigenwert der Maaßschen Wellenform   bezüglich  . Sei   die bis aufs Vorzeichen eindeutige komplexe Zahl mit  . Dann gilt für die Fourierkoeffizientenfunktionen von  

 

falls  . Ist  , so gilt

  mit  .

Beweis: Es gilt  . Nach der Definition von Fourierkoeffizienten gilt für  

 

Zusammen folgt für  :

 

In (1) wurde für den ersten Summanden benutzt, dass der  -te Fourierkoeffizient von   genau   ist, da wir Fourierreihen gliedweise differenzieren dürfen. Im zweiten Summanden wurde die Reihenfolge von Integration und Differentiation geändert, was erlaubt ist, da   beliebig oft stetig differenzierbar in y ist und man über ein Kompaktum integriert. Es ergibt sich folgende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:

 

Für   kann man zeigen, dass für jede Lösung   dieser Differentialgleichung eindeutige Koeffizienten   existieren, sodass gilt  .

Für   ist jede Lösung   der obigen Differentialgleichung von der Form

 

für eindeutige  , wobei   die K-Besselfunktion und   die I-Besselfunktionen ist (Siehe O. Forster).

Da die I-Besselfunktion exponentiell wächst und die K-Besselfunktion exponentiell fällt, folgt mit der Forderung 3) des höchstens polynomialen Wachstums von  

 

(also  ) für ein eindeutiges  

Gerade und ungerade Maaßsche Wellenformen: Sei  . Dann operiert   auf allen Funktionen   der oberen Halbebene   via  . Man rechnet leicht nach, dass   mit   vertauscht. Wir nennen eine Maaßsche Wellenform   gerade, wenn   und ungerade wenn  . Ist   eine Maaßsche Wellenform, so ist insbesondere damit   eine gerade Maaßsche Wellenform und   eine ungerade Maaßsche Wellenform und es gilt  .

Satz: L-Funktion einer Maaßschen Wellenform

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Sei   eine Maaßsche Spitzenform. Wir definieren die sogenannte L-Funktion von   als

 .

Dann konvergiert die Reihe   für   und man kann sie zu einer ganzen Funktion auf   fortsetzen.

Ist   gerade oder ungerade, so definiert man

 

wobei  , falls   gerade und  , falls   ungerade ist. Dann erfüllt   die Funktionalgleichung

 .

Beweis:

Sei   eine Maaßsche Spitzenform. Zuerst machen wir uns klar, wie schnell die Fourierkoeffizienten von   wachsen.

Behauptung: Es gilt  

Beweis: Da   eine Maaßsche Spitzenform ist, existieren  , sodass für   die Ungleichung   gilt. Ist   und ist   konjugiert zu   modulo  , so rechnet man leicht nach, dass   gilt. Da   invariant unter   ist, gilt für  :

 .

Also gilt für   die Abschätzung

 .

Für   und   gilt damit

 .

Damit finden wir eine Konstante  , sodass für jedes   gilt:

 

Nun fällt die K-Besselfunktion aber exponentiell schnell und   ist eine Maaßsche Spitzenform. Zusammen folgt, dass   auf dem Fundamentalbereich von   beschränkt ist und damit auf  . Damit können wir den obigen Beweis mit   wiederholen und erhalten   für ein  , also  .

Damit konvergiert die Reihe   für  .

Um den zweiten Teil des Satzes zu beweisen, brauchen wir noch die Mellin-Transformierte von  .

Für   konvergiert das Integral

 

absolut und es gilt

 .

Ist   nun gerade oder ungerade, folgt aus der Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten   für alle  .

Sei   gerade. Der Fall   ungerade funktioniert ähnlich und wird deswegen hier nicht gezeigt. Dann gilt:

 

Das Vertauschen der Reihenfolge von Integral und Summe zeigt man zum Beispiel mit majorisierter Konvergenz, wobei man ausnutzt, dass für die K-Besselfunktion für   gilt:

 

Ebenso zeigt man, dass   für   exponentiell fällt.

Wir definieren nun

 

Damit gilt  . Da   exponentiell fällt für  , konvergiert   für jedes   und damit ist   eine ganze Funktion (komplexe Analysis). Nun ist   aber invariant unter  , womit insbesondere   folgt.

Wir erhalten nun:

 

Damit ist auch   eine ganze Funktion und damit ist   ganz. Insbesondere kann man damit   zu einer ganzen Funktion auf   fortsetzen. Weiterhin gilt für   die Funktionalgleichung

 .

Damit ist   insbesondere auf ganz   holomorph fortsetzbar und der Satz ist bewiesen.  

Beispiel: Die nichtholomorphe Eisensteinreihe E

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Die nichtholomorphe Eisensteinreihe wird für   und   definiert durch

 ,

wobei   die Gammafunktion ist.

Die obige Reihe konvergiert absolut in   für   und lokal gleichmäßig in  , denn man kann zeigen, dass die Reihe   absolut in   konvergiert, wenn  . Genauer konvergiert die Summe sogar gleichmäßig auf jeder Menge  , für jedes Kompaktum   und jedes  .

Insbesondere ist   als Limes stetiger Funktionen stetig in  . Für festes   ist   sogar holomorph in  , da nach Weierstraß der lokalgleichmäßige Limes holomorpher Funktionen wieder holomorph ist.

Satz: E ist eine Maaßsche Wellenform

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Wir zeigen hier nur die  -Invarianz und die Eigengleichung. Einen Beweis der Glattheit findet man bei Deitmar oder Bump. Die Wachstumsbedingung folgt aus dem Satz der Fourier-Entwicklung von E.

Zuerst zur  -Invarianz. Sei

 

die Stabilisatorgruppe von   bezüglich der Operation von   auf  . Dann gilt Folgendes.

Lemma: Die Abbildung

 

ist eine Bijektion.

Proposition: E ist Γ(1)-invariant

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(a) Sei  . Dann konvergiert   absolut in   für   und es gilt:

 

(b) Es gilt   für jedes  .

Beweis:

Zu (a): Für   gilt  . Damit folgt mit obigem Lemma

 

Damit folgt die absolute Konvergenz in   für  .

Des Weiteren folgt

 ,

denn die Abbildung   ist eine Bijektion.

Damit folgt (a).

Zu (b): Für   gilt

 .

Nach (a) ist damit auch   invariant unter  .  

Proposition: E ist eine Eigenform des hyperbolischen Laplace-Operators

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Wir benötigen Folgendes.

Lemma:   vertauscht mit der Operation von   auf  . Genauer gilt für jedes  :

 

Beweis: Die Gruppe   wird erzeugt von den Elementen der Form   mit  ,   mit   und  . Man rechnet die Behauptung auf diesen Erzeugern nach und erhält somit die Behauptung für jedes  .  

Wegen   (vergleiche oben) reicht es, die Eigengleichung für   zu zeigen. Es gilt:

 

Außerdem gilt

 .

Da der Laplace-Operator mit der Operation von   vertauscht, folgt für jedes  

  und damit  .

Damit folgt für   die Eigengleichung auch für  . Um die Behauptung für jedes   zu erhalten, betrachte die Funktion  . Man schreibt diese Funktion mit Hilfe der Fourier-Entwicklung von   explizit aus und erkennt, dass sie meromorph ist. Nun verschwindet sie aber für  , damit ist sie nach dem Identitätssatz identisch Null und die Eigengleichung gilt für jedes  . 

Satz zur Fourier-Entwicklung von E

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Die nichtholomorphe Eisensteinreihe besitzt eine Fourier-Entwicklung

 

wobei die Fourierkoeffizienten gegeben sind durch:

 

Für   hat   eine meromorphe Fortsetzung in   auf ganz  . Diese ist holomorph bis auf einfache Pole in  .

Die Eisenstein-Reihe erfüllt für jedes   die Funktionalgleichung

 

und es gilt lokal gleichmäßig in   die Wachstumsbedingung

 

wobei  .

Die meromorphe Fortsetzung von E ist von großer Bedeutung in der Spektraltheorie des hyperbolischen Laplace-Operators.

Maaßsche Wellenformen vom Gewicht k

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Kongruenzuntergruppen

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Für   sei   der Kern der kanonischen Projektion

 .

Man nennt   Hauptkongruenzgruppe der Stufe  . Eine Untergruppe   heißt Kongruenzuntergruppe, falls ein   existiert, sodass  . Alle Kongruenzuntergruppen sind diskret.

Es sei  . Für eine Kongruenzuntergruppe   sei   das Bild von   in  . Es sei S ein Vertretersystem von  , dann ist

 

ein Fundamentalbereich für  . Die Menge   ist durch den Fundamentalbereich   eindeutig festgelegt. Zudem ist   endlich.

Man nennt die Punkte   für   Spitzen des Fundamentalbereichs  . Sie liegen komplett in  .

Für jede Spitze   existiert ein   mit  .

Definition Maaßsche Wellenformen vom Gewicht k

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Sei   eine Kongruenzuntergruppe von   und  .

Wir verallgemeinern den hyperbolischen Laplace-Operator   zum hyperbolischen Laplace-Operator   vom Gewicht  , wobei:

 
 

Für   definieren wir eine Rechtsoperation von   auf   durch

 

wobei  .

Man kann zeigen, dass für jedes  ,   und jedes   gilt:

 

Damit operiert   auf dem Vektorraum

 .

Definition: Eine Maaßsche Wellenform vom Gewicht   zur Gruppe   ist eine Funktion  , die eine Eigenform von   ist und von moderatem Wachstum an den Spitzen ist.

Zum Begriff des moderaten Wachstums an den Spitzen:

Ist   eine Kongruenzuntergruppe, dann ist   eine Spitze und man nennt eine Funktion   aus   von moderatem Wachstum bei  , falls   durch ein Polynom beschränkt werden kann, wenn  . Sei   nun eine andere Spitze. Dann existiert ein   mit  . Sei dann  . Man rechnet nach, dass dann   in   liegt, wobei   die Kongruenzuntergruppe   ist. Man sagt nun   ist von moderatem Wachstum an der Spitze  , falls   von moderatem Wachstum an der Spitze   ist.

Enthält   die Hauptkongruenzgruppe der Stufe  , so nennt man   kuspidal bei unendlich, falls

  für jedes  

gilt. Man nennt   kuspidal bei einer Spitze  , falls   kuspidal bei unendlich ist.

Ist   an jeder Spitze kuspidal, nennt man   Spitzenform.

Maaßsche Wellenformen, die kuspidal sind, nennen wir Maaßsche Spitzenformen.

Wir geben ein Beispiel einer Maaßschen Wellenform vom Gewicht   zur Modulgruppe:

Beispiel: Sei   eine Modulform vom Gewicht   zur Gruppe  . Dann ist   eine Maaßsche Wellenform vom Gewicht   zur Gruppe  .

Beweis: Da   eine Modulform ist, ist   holomorph, also insbesondere glatt in  . Damit ist   glatt. Sei nun  . Dann gilt

 .

Da   eine Modulform ist, ist   insbesondere holomorph in  , d. h.   für  . Damit existiert aber ein  , sodass   für  .

Wir zeigen nun noch die Eigengleichung für  . Da   holomorph ist, gelten die Riemannschen Differentialgleichungen, also

 

und damit folgt mit dem Satz von Schwarz

 .

Es gilt dann:

 

Damit ist   eine Maaßsche Form vom Gewicht   zur Gruppe  . 

Das Spektralproblem

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Sei   eine Kongruenzuntergruppe von  . Es sei   der Vektorraum aller messbaren Funktionen   mit   für jedes   und

 

modulo Funktionen mit  . Das Integral ist wohldefiniert, da die Funktion    -invariant ist. Der Raum   ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt

 .

Der Operator   kann auf einem in   dichten Teilraum   definiert werden. Dort ist er ein positiv semidefiniter symmetrischer Operator. Es lässt sich zeigen, dass es eine eindeutige selbstadjungierte Fortsetzung auf   gibt.

Wir bezeichnen mit   den Raum aller Spitzenformen in  . Dann operiert   auf   und hat dort ein reines Eigenwertspektrum. Das Spektrum auf dem orthogonalen Komplement hat einen kontinuierlichen Anteil und wird mit der Hilfe von (modifizierten) nicht-holomorphen Eisensteinreihen, deren meromorphen Fortsetzungen und deren Residuen beschrieben. Für eine genaue Analyse siehe Bump oder Iwaniec. Ist   eine diskrete (torsionsfreie) Untergruppe, sodass der Quotient   kompakt ist, vereinfacht sich das Spektralproblem. Das liegt vor allem daran, dass eine diskrete cokompakte Untergruppe keine Spitzen besitzt. Hier ist der komplette Raum   eine Summe von Eigenräumen des Operators  .

Einbettung in den Raum L2(Γ\G)

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  ist eine unimodulare lokalkompakte Gruppe mit der Teilraumtopologie des  . Sei   wieder eine Kongruenzuntergruppe. Da   diskret in   liegt, ist   abgeschlossen in  . Die Gruppe   ist unimodular, und da das Zählmaß ein Haar-Maß auf der diskreten Gruppe   ist, ist auch   unimodular. Damit existiert nach der Quotientenintegralformel ein  -rechtsinvariantes Radon-Maß   auf dem lokalkompakten Raum  . Wir betrachten nun den zu dem Maß   gehörigen  -Raum  .

Der Raum   zerfällt in eine direkte Hilbert-Summe

 

wobei   und   für  .

Der Hilbertraum   kann isometrisch in den Hilbertraum   eingebettet werden. Die Isometrie ist gegeben durch die Abbildung

 

Damit können wir alle Maaßschen Spitzenformen zur Kongruenzgruppe   als Elemente von   auffassen.

  ist ein Hilbertraum, auf dem   via Rechtstranslation operiert:

 ,

wobei   und  .

Man rechnet leicht nach, dass   eine unitäre Darstellung von   auf dem Hilbertraum   ist. Man will nun die Darstellung   in eine Summe von irreduziblen Unterdarstellungen zerlegen. Es stellt sich heraus, dass dies nur möglich ist, wenn   cokompakt ist. Ansonsten kommt noch ein kontinuierliches Hilbert-Integral hinzu. Das Interessante ist, dass die Lösung dieses Problems auch das Spektralproblem der Maaßschen Formen löst. Für eine genaue Analyse dieses Zusammenhangs siehe auch Bump.

Automorphe Darstellungen der Adelgruppe

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Die Gruppe Gl2(A)

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Für einen Ring   mit Eins sei   die Gruppe der  -Matrizen mit Einträgen in   und in   invertierbarer Determinante. Sei   der Ring der (rationalen) Adele,   der Ring der endlichen (rationalen) Adele und für eine Primzahl   sei   der Körper der p-adischen Zahlen und   der Ring der ganzen p-adischen Zahlen. Es sei  . Sowohl   als auch   sind mit den jeweiligen Teilraumtopologien von   beziehungsweise   lokalkompakte unimodulare Gruppen. Die Gruppe   ist isomorph zur Gruppe  , wobei hiermit das eingeschränkte direkte Produkt (siehe Adelring) der Gruppen   bezüglich der kompakten, offenen Untergruppen   von   gemeint ist. Dann ist   mit der eingeschränkten Produkttopologie eine lokalkompakte Gruppe.

Die Gruppe   ist isomorph zur Gruppe

 

und ist eine lokalkompakte Gruppe mit der Produkttopologie, da   und   lokalkompakte Gruppen sind.

Mit   bezeichnen wir den Ring  . Die Untergruppe

 

ist eine maximal kompakte, offene Untergruppe von   und wird durch die Abbildung   auch als Untergruppe von   aufgefasst.

Mit   bezeichnen wir das Zentrum von  , also Diagonalmatrizen der Form  , wobei  . Wir fassen   als Untergruppe von   auf via der Einbettung  .

Die Gruppe   wird diagonal in   eingebettet, was möglich ist, da die vier Einträge eines   nur endlich viele Primteiler besitzen und damit   in   für alle bis auf endlich viele Primzahlen   liegt.

Sei   die Gruppe aller   mit  , wobei hier der Betrag des Idels   gemeint ist. Man rechnet sofort nach, das   sogar in   liegt (Produktformel).

Mittels der Injektion   kann man die Gruppen   und   miteinander identifizieren.

Für   gilt folgender Satz:

Die Gruppe   liegt dicht in   und diskret in  . Der Quotient   ist nicht kompakt, hat aber endliches Haarmaß.

Damit ist   insbesondere ein Gitter von  , wie es im klassischen Fall die Modulgruppe von   war. Zudem folgt, dass   unimodular ist.

Adelisierung von Spitzenformen

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Wir wollen nun die klassischen Maaßschen Spitzenformen von Gewicht 0 zur Modulgruppe als Funktionen auf   auffassen. Das funktioniert mit dem starken Approximationstheorem, das besagt, dass die Abbildung

 

ein  -äquivarianter Homöomorphismus ist. Es gilt dann

 

und damit auch

 

Nun liegen Maaßsche Spitzenformen vom Gewicht Null zur Modulgruppe   in

 .

Dieser Raum ist aber nach dem starken Approximationstheorem unitär isomorph zu

 

was ein Unterraum von   ist.

Mit dem gleichen Argument kann man damit auch die klassischen holomorphen Spitzenformen als Elemente von   auffassen. Mit einer kleinen Verallgemeinerung des starken Approximationstheorems erkennt man, dass man alle klassischen Maaßschen Spitzenformen (als auch holomorphen Spitzenformen) von beliebigem Gewicht zu jeder Kongruenzuntergruppe   in   einbetten kann.

In der Literatur wird   oft als Menge der automorphen Formen (der Adelgruppe) bezeichnet. Ersetzt man die   Bedingung durch geeignete Wachstumsbedingungen,[1] gehören auch die eingebetteten nichtholomorphen Eisensteinreihen zu den automorphen Formen, die selbst nicht  -integrierbar sind.

Spitzenformen der Adelegruppe

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Für einen Ring   sei   die Menge aller   wobei  . Diese Gruppe ist isomorph zur additiven Gruppe von  .

Man nennt eine Funktion   Spitzenform, falls

 

für fast alle   gilt. Der Vektorraum aller Spitzenformen bezeichnet man mit   oder kurz mit  .   ist abgeschlossen und invariant unter der rechtsregulären Darstellung von  .

Man ist nun an einer Zerlegung von   in irreduzible abgeschlossene Unterräume unter der rechtsregulären Darstellung interessiert.

Genauer gilt folgender Satz:

Der Raum   zerfällt in eine direkte Summe irreduzibler Hilberträume mit endlichen Vielfachheiten:

 

Die Bestimmung der Vielfachheiten   ist eines der schwierigsten und wichtigsten Probleme der Theorie der automorphen Formen.

Kuspidale Darstellungen der Adelgruppe

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Eine irreduzible Darstellung   der Gruppe   heißt kuspidal, wenn sie isomorph zu einer Unterdarstellung von   ist.

Eine irreduzible Darstellung   der Gruppe   heißt zulässig, falls es eine kompakte Menge   gibt, sodass   für jedes  .

Man kann zeigen, dass jede kuspidale Darstellung zulässig ist.

Die Zulässigkeit wird gebraucht, um den sogenannten Tensorproduktsatz anzuwenden, der besagt, dass jede irreduzible unitäre Darstellung der Gruppe   isomorph zu einem unendlichen Tensorprodukt   ist, wobei die   irreduzible Darstellungen der Gruppe   sind, die fast alle unverzweigt sind.

(Eine Darstellung   der Gruppe     heißt unverzweigt, falls der Vektorraum
: 
nicht der Nullraum ist.)

Zur Konstruktion eines unendlichen Tensorprodukts siehe zum Beispiel Deitmar, Kap.7.

Automorphe L-Funktionen

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Es sei   eine irreduzible zulässige unitäre Darstellung von  . Nach dem Tensorproduktsatz ist   von der Form  , wobei die   irreduzible Darstellungen der Gruppen   sind, die fast alle unverzweigt sind.

Es sei   eine endliche Stellenmenge, sodass   und   alle verzweigten Stellen enthält. Man definiert die globale L-Funktion von   als

 

wobei   eine sogenannte lokale L-Funktion der lokalen Darstellung   ist. Für eine ausführliche Konstruktion einer lokalen L-Funktion siehe zum Beispiel Anton Deitmar: Automorphe Formen, Kapitel 8.2.

Ist   eine kuspidale Darstellung, so setzt die L-Funktion   zu einer meromorphen Funktion auf   fort. Das ist möglich, da  , wie auch die klassischen L-Funktionen, bestimmte Funktionalgleichungen erfüllt.

Einer adelisierten Maaßschen Spitzenformen   (oder auch einer holomorphen Spitzenform) kann eine kuspidale Darstellung   zugewiesen werden, sodass die L-Funktion   mit der klassischen L-Funktion   übereinstimmt. In diesem Sinne sind die automorphen L-Funktionen eine Verallgemeinerung der klassischen L-Funktionen. Sie wurden zum ersten Mal 1969 von Robert Langlands untersucht.

Literatur

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  1. Siehe zum Beispiel Gelbart: Automorphic forms of the adele group.