In der Mathematik sind Kongruenzuntergruppen eine Klasse arithmetisch definierter diskreter Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe.

In der Theorie der Modulformen werden häufig Kongruenzuntergruppen zur Modulgruppe betrachtet.

Definition

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Sei

 

eine über   definierte algebraische Gruppe und   eine natürliche Zahl. Dann ist

 

eine Kongruenzuntergruppe. (Hierbei bezeichnet   die Einschränkung der „Reduktion modulo N“ auf  .)

Arithmetische Gruppen

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Kongruenzuntergruppen sind (nach Konstruktion) arithmetische Gruppen. Für   enthält jede arithmetische Gruppe   eine Kongruenzuntergruppe.[1][2]

Allgemeine Ringe

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Sei   ein kommutativer Ring. Eine Kongruenzuntergruppe ist der Kern des Homomorphismus

 

für ein Ideal  .

Congruence subgroup problem

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Das congruence subgroup problem fragt, ob für einen kommutativen Ring   jeder Normalteiler in   eine Kongruenzuntergruppe ist.

Literatur

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  1. Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Sundararaman Ramanan (Hrsg.): Proceedings of the Hyderabad Conference on Algebraic Groups (December 1989). Manoj Prakashan, Madras 1991, ISBN 81-231-0090-6, S. 465–494.
  2. Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences. Mathematical Sciences. Bd. 114, Nr. 4, 2004, S. 299–308, doi:10.1007/BF02829437.