In der Mathematik spielen arithmetische Gruppen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie, Differentialgeometrie, Topologie, Algebraischen Geometrie und in der Theorie der Lie-Gruppen. Es handelt sich um arithmetisch definierte Gitter in Lie-Gruppen; klassische Beispiele sind die Modulgruppe und allgemein die Gruppen für . Arithmetizität ist stets in Bezug auf eine umgebende Lie-Gruppe definiert. Nach einem Satz von Margulis sind alle irreduziblen Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen vom Rang ohne kompakten Faktor immer arithmetische Untergruppen.

Definition

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Sei   eine nichtkompakte halbeinfache Lie-Gruppe,   eine Untergruppe.   heißt arithmetisch, wenn es

  • eine über   definierte zusammenhängende lineare algebraische Gruppe   und
  • einen Isomorphismus   (für geeignete kompakte Normalteiler  )

gibt, so dass   kommensurabel zu   ist.

Anmerkung: Eine über   definierte lineare algebraische Gruppe ist – per Definition – eine durch Polynome mit rationalen Koeffizienten definierte Untergruppe  . Wenn   eine über   definierte lineare algebraische Gruppe ist, dann ist nach dem Satz von Borel und Harish-Chandra   ein Gitter in  . Folglich ist jede arithmetische Gruppe ein Gitter in der Zusammenhangskomponente der umgebenden Lie-Gruppe.

Beispiele

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  • Nach Definition ist klar, dass   und auch zu   kommensurable Gruppen arithmetisch sind.
  • Bezeichne   die Gruppe der ganzen Gaußschen Zahlen.   ist eine arithmetische Untergruppe von  , denn es ist   für die kanonische Einbettung  .
  • Sei  , wobei   die Diagonalmatrix   bezeichnet und sei  . Dann ist   eine arithmetische Untergruppe von  , denn   ist durch Polynome mit rationalen Koeffizienten definiert.
  • Im Folgenden wollen wir die Definition auf eine Klasse von weniger offensichtlichen Beispielen anwenden, nämlich auf die Hilbertschen Modulgruppen.

Sei

 

ein reeller quadratischer Zahlkörper – für eine quadratfreie ganze Zahl   mit   – und   sein Ganzheitsring. Es gibt zwei durch   definierte Einbettungen   und dementsprechend zwei Einbettungen  .

Wir betrachten die halbeinfache Lie-Gruppe

 

und die Untergruppe

 

und wollen zeigen, dass   eine arithmetische Gruppe ist.

Wir betrachten zunächst die algebraische Varietät

 

und den durch

  definierten Homomorphismus : .

Dann ist  .

Wir bemerken, dass es einen bijektiven (additiven und multiplikativen) Homomorphismus   mit

 ,

also   für alle   gibt, nämlich  .

Nun betrachten wir die lineare algebraische Gruppe

 .

(Hier sind   2x2-Blöcke in einer 4x4-Matrix.)

Wir definieren einen Gruppen-Homomorphismus

  durch  .

  bildet tatsächlich nach   ab: offensichtlich liegen die Blöcke der Bildmatrizen in  , außerdem ist   mit  .

Aus der Bijektivität von   folgt, dass auch   bijektiv und mithin ein Isomorphismus ist.

Wegen   beweist das die Arithmetizität von  .

Arithmetische Untergruppen von SL(n,R)

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Alle arithmetischen Untergruppen von   kann man mittels Divisionsalgebren, mittels unitärer Gruppen oder mittels einer Kombination dieser beiden Methoden konstruieren.

Divisionsalgebren

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Sei eine Körpererweiterung von   mit   und sei   der Ganzheitsring von  . Sei   mit   und   für das nichttriviale Element   und alle  .

Wir betrachten die Divisionsalgebra   und  .

Dann ist   eine arithmetische Untergruppe von  .

Unitäre Gruppen

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Sei   mit   und sei   das nichttriviale Element der Galoisgruppe. Sei   eine hermitesche Matrix.

Wir betrachten  .

Dann ist   eine arithmetische Untergruppe von  .

Kombination

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Sei   mit   und sei   das nichttriviale Element. Sei   eine Divisionsalgebra über  , so dass   zu einem Antiautomorphismus von   fortgesetzt werden kann. Sei   eine hermitesche Matrix, d. h.  .

Dann ist   eine arithmetische Untergruppe von  .

Q-Rang und R-Rang

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Spaltende Tori

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Sei   eine algebraische Gruppe. Ein Torus ist eine abgeschlossene, zusammenhängende Untergruppe  , die (über  ) diagonalisierbar ist, das heißt, es gibt einen Basiswechsel  , so dass   aus diagonalisierbaren Matrizen besteht.

Der Torus heißt  -spaltend, wenn man   wählen kann. Zum Beispiel ist   kein  -spaltender Torus in  , die Gruppe der Diagonalmatrizen (mit Determinante 1) aber doch. Der  -Rang einer algebraischen Gruppe ist die maximale Dimension eines  -spaltenden Torus. Zum Beispiel ist   oder  .

Ein Torus heißt  -spaltend, wenn er über   definiert ist und man   wählen kann.

Für eine arithmetische Gruppe   gibt es per Definition eine über   definierte zusammenhängende lineare algebraische Gruppe   und einen Isomorphismus  , so dass (modulo kompakter Gruppen) das Bild von   zu   isomorph ist. Der  -Rang von   wird definiert als die Dimension eines maximalen  -spaltenden Torus in  . (Man beachte, dass   nur von   abhängt, dass aber verschiedene arithmetische Untergruppen   einer Lie-Gruppe   unterschiedlichen  -Rang haben können, weil die zu wählenden algebraischen Gruppen   sich unterscheiden.)

Beispiele

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Man sieht leicht, dass  . Die arithmetische Untergruppe   hat also  -Rang  . Der  -Rang der oben besprochenen Hilbertschen Modulgruppe ist hingegen der  -Rang der oben konstruierten Gruppe  . Man kann zeigen, dass   ein maximaler  -spaltender Torus in   ist, mithin  .

Geometrische Interpretation

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Sei   eine nichtkompakte halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor,   eine maximal kompakte Untergruppe und   ein arithmetisches Gitter. Die Killing-Form definiert eine riemannsche Metrik auf  , man erhält einen symmetrischen Raum. Der  -Rang von   lässt sich interpretieren als die Dimension eines maximalen flachen Unterraumes (d. h. einer einfach zusammenhängenden total-geodätischen Untermannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant  ) in  .

Der Quotient   ist ein lokal symmetrischer Raum. Der  -Rang von   lässt sich interpretieren als die maximale Dimension eines flachen Unterraumes in einer endlichen Überlagerung von   oder als die kleinste Zahl  , so dass ganz   in endlichem Abstand von einer endlichen Vereinigung  -dimensionaler flacher Unterräume ist. Insbesondere ist  , falls   kompakt ist.

Charakterisierung arithmetischer Gitter

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Satz (Margulis): Ein irreduzibles Gitter   in einer halbeinfachen Lie-Gruppe   ist arithmetisch dann und nur dann, wenn   unendlichen Index in seinem Kommensurator hat, also wenn  .

Arithmetizitäts-Satz von Margulis

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Satz: Sei   eine halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor mit  . Dann ist jedes irreduzible Gitter   arithmetisch.

Erläuterungen: Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe   mit  , wobei das Volumen bzgl. des Haarmaßes berechnet wird. Ein Gitter heißt irreduzibel, falls es keine Zerlegung   mit Gittern   gibt.

Margulis bewies diesen Satz als eine Folgerung aus dem von ihm bewiesenen Superstarrheitssatz.[1]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Margulis, G.A.: Arithmeticity of the irreducible lattices in the semisimple groups of rank greater than 1. Invent. Math (1984) 76 - 93. doi:10.1007/BF01388494