Margulis-Normalteiler-Theorem

In der Mathematik besagt das Margulis-Normalteiler-Theorem (engl.: Margulis' normal subgroup theorem), dass Normalteiler in Gittern höheren Rangs entweder endlich oder von endlichem Index sind.

Aussage

Sei $G$ eine zusammenhängende halbeinfache Lie-Gruppe mit $rk_{\mathbb {R} }(G)\geq 2$ und endlichem Zentrum. Sei $\Gamma \subset G$ ein irreduzibles Gitter.

Wenn $N\subset \Gamma$ ein Normalteiler ist, dann ist entweder $N\subset Z(G)$ (und insbesondere $N$ endlich) oder $\Gamma /N$ ist endlich.

Beweis

Der wesentliche Schritt des Beweises besteht darin, dass für einen Normalteiler von unendlichem Index die Faktorgruppe $\Gamma /N$ mittelbar sein muss. (Das wird durch Konstruktion einer Gruppenwirkung auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum mit invariantem Wahrscheinlichkeitsmaß bewiesen.) Andererseits haben Gitter höheren Rangs und damit auch ihre Faktorgruppen die Eigenschaft T und mittelbare Gruppen mit Eigenschaft T müssen endlich sein.

Der Beweis lässt sich auf Gitter in „Lie-Gruppen über lokalen Körpern“ verallgemeinern.

Literatur

• G. A. Margulis: Quotient groups of discrete subgroups and measure theory, Func. Anal. Appl. 12 (1978), no. 4, 295–305 (1979)
• Kapitel 4.4 in: G. A. Margulis: Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups. Springer, Berlin Heidelberg New York, 1991.
• Kapitel 8 in: Robert J. Zimmer: Ergodic Theory and Semisimple Groups. Birkhäuser, Basel, 1984.

Weblinks

• C. Löh: Margulis's normal subgroup theorem. A short introduction.