Eigenschaft T

In der Mathematik ist Eigenschaft T (auch Kazhdans Eigenschaft T) eine Starrheitseigenschaft topologischer Gruppen, die zuerst von David Kazhdan in den 1960er Jahren betrachtet wurde.

Spätere Entwicklungen zeigten, dass Eigenschaft T in vielen Gebieten der Mathematik eine Rolle spielt, darunter diskrete Untergruppen von Lie-Gruppen, Ergodentheorie, Random Walks, Operatoralgebren, Kombinatorik und theoretische Informatik.

Eine Version, die unter anderem bei Beweisen im Zimmer-Programm verwendet wird, ist die von Vincent Lafforgue eingeführte starke Eigenschaft T.

Definition

Sei $\pi \colon G\to U({\mathcal {H}})$ eine stark stetige, unitäre Wirkung einer topologischen Gruppe $G$ auf einem Hilbertraum ${\mathcal {H}}$.

Für eine kompakte Menge $Q\subset G$ und $\epsilon >0$ heißt ein Vektor $z\in {\mathcal {H}}$ $(Q,\epsilon )$-invariant, wenn

$\sup _{g\in Q}\parallel \pi (g)z-z\parallel <\epsilon \parallel z\parallel$.

$G$ hat Eigenschaft T, wenn es eine kompakte Menge $Q\subset G$ und ein $\epsilon >0$ gibt, so dass es für jede unitäre Wirkung einen $(Q,\epsilon )$-invarianten Vektor gibt.

Beispiele

• Jede kompakte Gruppe hat Eigenschaft T. Man kann $Q=G$ und $\epsilon ={\sqrt {2}}$ wählen.
• $\mathbb {R} ^{n}$ und $\mathbb {Z} ^{n}$ haben Eigenschaft T nicht.
• Eine lokal kompakte Gruppe ist genau dann kompakt, wenn sie mittelbar ist und Eigenschaft T hat.
• $SL(n,\mathbb {R} )$ hat genau dann Eigenschaft T, wenn $n\geq 3$ ist. Allgemeiner haben für jeden lokalen Körper $K$ die Gruppen $SL(n,K)$ mit $n\geq 3$ und $Sp(2n,K)$ mit $n\geq 2$ Eigenschaft T.
• Einfache Lie-Gruppen mit $rk_{\mathbb {R} }(G)\geq 2$ haben Eigenschaft T.

Eigenschaften

• Jede lokal kompakte Gruppe mit Eigenschaft T ist kompakt erzeugt. Insbesondere sind Gitter mit Eigenschaft T endlich erzeugt.
• Wenn $G$ Eigenschaft T hat, dann hat $G/N$ Eigenschaft T für jeden Normalteiler $N$.
• Wenn $G$ lokal kompakt, $H\subset G$ abgeschlossen und $G/H$ ein endliches, reguläres, $G$-invariantes Borel-Maß hat, dann hat $H$ genau dann Eigenschaft T, wenn dies auf $G$ zutrifft. Insbesondere hat ein Gitter $\Gamma \subset G$ genau dann Eigenschaft T, wenn dies auf $G$ zutrifft.
• Nach dem Satz von Delorme-Guichardet hat eine Gruppe $G$ genau dann Eigenschaft T, wenn sie Eigenschaft FH hat: jede stetige Wirkung durch affine Isometrien auf einem Hilbert-Raum ${\mathcal {H}}$ hat einen Fixpunkt. Äquivalent dazu muss $H^{1}(G,\pi )=0$ für alle unitären Darstellungen $\pi \colon G\to U({\mathcal {H}})$ sein.
• Aus Eigenschaft FH folgt beispielsweise, dass jede Wirkung der Gruppe als Isometrien eines Baumes oder eines hyperbolischen Raumes einen Fixpunkt haben muss, und dass jede orientierungserhaltende, $C^{\infty }$-Wirkung der Gruppe auf dem Kreis über die Wirkung einer endlichen zyklischen Gruppe faktorisiert.

Literatur

• B. Bekka, P. de la Harpe, A. Valette: Kazhdan's Property (T). Cambridge University Press, 2008. ISBN 978-0-521-88720-5