Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

Die Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung ist eine Ungleichung aus dem Bereich der Stochastik. Sie ist eine Verallgemeinerung der Tschebyscheff-Ungleichung und nach dem Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow benannt.

Eindimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

→ Hauptartikel: Tschebyscheffsche Ungleichung

Die (eindimensionale) Tschebyscheffsche Ungleichung besagt, dass für eine reelle Zufallsvariable $X$ mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz $\sigma ^{2}$ die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert außerhalb des Intervalls $(\mu -k\sigma ,\mu +k\sigma )$ annimmt, höchstens gleich $1/k^{2}$ ist, d. h.

$1-P(\mu -k\sigma \leq X\leq \mu +k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}\quad {\text{für alle}}\ k>0\;.$

Z. B. ergibt sich für $k=2$

$1-P(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )\leq {\frac {1}{4}},$

d. h. außerhalb des $2\sigma$-Intervalls um dem Erwartungswert $\mu$ liegt höchstens die Wahrscheinlichkeit 1/4. Bei einer Zufallsstichprobe sind höchstens 25 % der Werte von $X$ außerhalb des Intervalls zu erwarten.

Mehrdimensionale Verallgemeinerung

$\mathbf {X}$ sei ein $d$-dimensionaler Zufallsvektor mit Erwartungswertvektor ${\boldsymbol {\mu }}$ und invertierbarer Kovarianzmatrix ${\boldsymbol {\Sigma }}$. Dann hat die reelle Zufallsvariable $Y=(\mathbf {X} -{\boldsymbol {\mu }})^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -{\boldsymbol {\mu }})$ den Erwartungswert $d$ und mit der Markow-Ungleichung folgt

$1-P(Y<k^{2})=P(Y\geq k^{2})\leq {\frac {d}{k^{2}}}\quad {\text{für alle }}k>0$.

Damit gilt für den Zufallsvektor $\mathbf {X}$ die Ungleichung

$P((\mathbf {X} -{\boldsymbol {\mu }})^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -{\boldsymbol {\mu }})\geq k^{2})\leq {\frac {d}{k^{2}}}\quad {\text{für alle }}k>0$.

Diese Ungleichung ergibt sich als Spezialfall einer Ungleichung für quadratische Formen von Zufallsvariablen. Die Ungleichung wurde bereits 1962 von Samuel Stanley Wilks angegeben.

Die Menge

$\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}\mid (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\leq k^{2}\}$

ist ein Ellipsoid mit Mittelpunktvektor ${\boldsymbol {\mu }}$. Die mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung besagt somit für $d=2$, dass außerhalb einer Konzentrationsellipse mit $k=2$ höchstens 50 % der Stichproben-Tupel liegen. Das ist (wie im Eindimensionalen) eine grobe Abschätzung.

Beachte, dass die quadratische Form $\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} =k^{2}$ den Rand der Streuregion einer zentrierten $d$-dimensionalen Normalverteilung ${\mathcal {N}}_{d}(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})$ mit invertierbarer Kovarianzmatrix ${\boldsymbol {\Sigma }}$ beschreibt. Siehe auch Streuregionen der mehrdimensionalen Normalverteilung und Quadratische Formen von Zufallsvariablen.

Literatur

• Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 5. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 1391, doi:10.1007/978-3-662-64389-1. 
• D. R. Jensen: Joint Distributions of Quadratic Forms. In: SIAM Journal on Applied Mathematics. Band 42, Nr. 2, 1982, S. 297–301, Theorem 1, S. 297, JSTOR:2101213. 
• A. M. Mathai, Serge B. Provost: Quadratic Forms in Random Variables – Theory and Applications (= Statistics: Textbooks and Monographs. Band 126). Dekker, New York / Basel / Hong Kong 1992, ISBN 0-8247-8691-2, Theorem 4.8.1, S. 188.