In der Mathematik ist metrische Ergodizität eine Verstärkung des Begriffs der Ergodizität.

Metrische Ergodizität

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Eine maßerhaltende Wirkung einer Gruppe   auf einem Maßraum   heißt metrisch ergodisch, wenn für jede isometrische Wirkung der Gruppe   auf einem separablen metrischen Raum   jede  -äquivariante Abbildung fast überall konstant ist.

Aus metrischer Ergodizität folgt Ergodizität durch Anwenden der Bedingung auf  .

Relative metrische Ergodizität

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Definition

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Eine äquivariante Abbildung   zwischen Lebesgue-G-Räumen ist relativ metrisch ergodisch, wenn für jede äquivariante Borel-Abbildung   mit einer faserweise isometrischen G-Wirkung und für alle äquivariante Abbildungen   mit   es eine äquivariante Abbildung   mit   gibt.

Eigenschaften

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  • Die Verknüpfung relativ metrisch ergodischer G-Abbildungen ist wieder relativ metrisch ergodisch.
  • Wenn   relativ metrisch ergodisch ist, dann trifft dies auch auf   zu, aber nicht notwendig auf  .
  • Wenn die Projektion   relativ metrisch ergodisch ist, dann ist   metrisch ergodisch.
  • Wenn   ein Gitter in einer Lie-Gruppe   ist, dann ist eine relativ metrisch ergodische  -Abbildung auch eine relativ metrisch ergodische  -Abbildung.

Literatur

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  • U. Bader, A. Furman: Boundaries, rigidity of representations, and Lyapunov exponents, Proceedings of ICM 2014, Invited Lectures, (2014), 71 – 96.
  • U. Bader, A. Furman: Boundaries, Weyl groups, and Superrigidity, Electron. Res. Announc. Math. Sci., vol 19 (2012), 41 – 48.
  • U. Bader, B. Duchesne, J. Lcureux (2014). Furstenberg Maps for CAT(0)Targets of Finite Telescopic Dimension.