Metrische Ergodizität

In der Mathematik ist metrische Ergodizität eine Verstärkung des Begriffs der Ergodizität.

Metrische Ergodizität

Eine maßerhaltende Wirkung einer Gruppe $G$ auf einem Maßraum $X$ heißt metrisch ergodisch, wenn für jede isometrische Wirkung der Gruppe $G$ auf einem separablen metrischen Raum $M$ jede $G$-äquivariante Abbildung fast überall konstant ist.

Aus metrischer Ergodizität folgt Ergodizität durch Anwenden der Bedingung auf $M=\left\{0,1\right\}$.

Relative metrische Ergodizität

Definition

Eine äquivariante Abbildung $p\colon A\to B$ zwischen Lebesgue-G-Räumen ist relativ metrisch ergodisch, wenn für jede äquivariante Borel-Abbildung $q\colon M\to V$ mit einer faserweise isometrischen G-Wirkung und für alle äquivariante Abbildungen $f\colon A\to M,f_{0}\colon B\to V$ mit $f_{0}p=qf$ es eine äquivariante Abbildung $f_{1}\colon B\to M$ mit $f_{1}p=f,qf_{1}=f_{0}$ gibt.

Eigenschaften

• Die Verknüpfung relativ metrisch ergodischer G-Abbildungen ist wieder relativ metrisch ergodisch.
• Wenn $gf$ relativ metrisch ergodisch ist, dann trifft dies auch auf $g$ zu, aber nicht notwendig auf $f$.
• Wenn die Projektion $A\times B\to B$ relativ metrisch ergodisch ist, dann ist $A$ metrisch ergodisch.
• Wenn $\Gamma$ ein Gitter in einer Lie-Gruppe $G$ ist, dann ist eine relativ metrisch ergodische $\Gamma$-Abbildung auch eine relativ metrisch ergodische $G$-Abbildung.

Literatur

• U. Bader, A. Furman: Boundaries, rigidity of representations, and Lyapunov exponents, Proceedings of ICM 2014, Invited Lectures, (2014), 71 – 96.
• U. Bader, A. Furman: Boundaries, Weyl groups, and Superrigidity, Electron. Res. Announc. Math. Sci., vol 19 (2012), 41 – 48.
• U. Bader, B. Duchesne, J. Lcureux (2014). Furstenberg Maps for CAT(0)Targets of Finite Telescopic Dimension.