Monodromie bezeichnet in der Mathematik, wie sich Objekte aus der Analysis, Topologie oder in der algebraischen und Differentialgeometrie verhalten, sobald sie sich um eine Singularität bewegen.

Monodromie ist eng verbunden mit der Theorie der Überlagerungen und ihren Degenerierungen in Verzweigungspunkten. Monodromietheorie ist motiviert durch das Phänomen, dass bestimmte Funktionen, die man definieren möchte, in der Nähe von Singularitäten mehrwertig werden. Diese Monodromieeigenschaft lässt sich am besten durch die sogenannte Monodromiegruppe messen, eine Gruppe von Abbildungen, die auf den Werten der Funktion operiert. Diese Gruppenoperation kodiert das Verhalten der Werte beim Umlaufen der Singularität.

Definition

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Sei   ein zusammenhängender und lokal zusammenhängender punktierter topologischer Raum mit Basispunkt  . Sei weiterhin   eine Überlagerung mit Faser  . Für eine Schleife   mit Startpunkt   sei   die Liftung von   mit Startpunkt  . Weiterhin bezeichne   den Endpunkt  , der sich im Allgemeinen von   unterscheiden kann.

Es lässt sich beweisen, dass diese Konstruktion zu einer wohldefinierten Gruppenoperation der Fundamentalgruppe   auf der Faser   führt. Hierbei ist der Stabilisator von   genau  . Das bedeutet, dass ein Element   einen Punkt in der Faser   genau dann invariant lässt, wenn es durch das Bild einer Schleife in   mit Basispunkt   repräsentiert wird.

Diese Gruppenwirkung wird als Monodromiewirkung beschrieben. Der Gruppenhomomorphismus   in die Automorphismengruppe von   ist die Monodromie. Das Bild des Homomorphismus wird als die Monodromiegruppe bezeichnet.

Literatur

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