Moser-Ungleichung

Die Moser-Ungleichungen sind mathematische Ungleichungen und werden im Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Sie dienen der Abschätzung der $L^{2}$-Norm von Funktionen aus den Sobolew-Räumen. Benannt sind sie nach dem Mathematiker Jürgen Moser. Für die Existenzbeweise von quasilinearen Systemen spielen sie eine große Rolle, da in diesen Systemen oft mit der $L^{2}$-Normung gearbeitet wird.

Formulierung der Moserungleichung

Mit $L^{p}(\mathbb {R} ^{m})$ wird der $L^{p}$-Raum und mit $H^{s}(\mathbb {R} ^{m})$ für $s\in \mathbb {N}$ der Sobolev-Raum der $L^{2}$-Funktionen bezeichnet. Dann gibt es eine positive Konstante $C_{s}\in \mathbb {R} _{>0}$ so, dass für alle Funktionen $f,\,g\in H^{s}(\mathbb {R} ^{m})\cap L^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})$ und für jeden Multiindex $\alpha$ mit $\left|\alpha \right|=s$ die Ungleichung

$\|D^{\alpha }(f\cdot g)\|_{L^{2}}\leqq C_{s}\left(\|f\|_{L^{\infty }}\|g\|_{L^{2}}+\|D^{s}f\|_{L^{2}}\|g\|_{L^{\infty }}\right)$

gilt.

Wird zusätzlich angenommen, dass $f$ einmal schwach differenzierbar ist, also $f\in H^{s}(\mathbb {R} ^{m})\cap W^{1,\infty }(\mathbb {R} ^{m})$ gilt, wobei $W^{1,\infty }(\mathbb {R} ^{m})$ den Sobolev-Raum der $L^{1}$-Funktionen bezeichnet, dann gilt die Ungleichung

$\|D^{\alpha }(fg)-fD^{\alpha }g\|_{L^{2}}\leqq C_{s}\left(\|D^{s}f\|_{L^{2}}\|g\|_{L^{\infty }}+\|f\|_{L^{\infty }}\|D^{s-1}g\|_{L^{2}}\right).$

Die Funktion $g$ ist hier aus dem Raum und $H^{s-1}(\mathbb {R} ^{m})\cap L^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})$.

Diese beiden Ungleichungen heißen Moser-Ungleichungen.

Beweisidee

Für den Beweis der zwei Ungleichungen betrachtet man zunächst den Spezialfall $f,\,g\in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})$. Unter Verwendung der Leibnizregel schätzt man dann den Term mit der Gagliardo-Nirenberg-Ungleichung ab.