In der Mathematik ist die -te Motzkin-Zahl die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, sich nicht schneidende Sehnen zwischen Punkten eines Kreises zu zeichnen. Dabei wird nicht notwendigerweise jeder Punkt durch eine Sehne berührt.

Die Motzkin-Zahlen wurden nach dem US-amerikanischen Mathematiker Theodore Motzkin benannt[1] und haben vielfältige Anwendungen in der Geometrie, der Kombinatorik und der Zahlentheorie.

Beispiele

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  • Wenn man auf einem Kreis   Punkte einzeichnet, gibt es insgesamt 9 Möglichkeiten, durch diese vier Punkte sich nicht schneidende Kreissehnen zu zeichnen:
 
Somit ist die vierte Motzkin-Zahl  .
  • Wenn man auf einem Kreis   Punkte einzeichnet, gibt es insgesamt 21 Möglichkeiten, durch diese fünf Punkte nicht schneidende Kreissehnen zu zeichnen:
 
Somit ist die fünfte Motzkin-Zahl  .
  • Eine andere Interpretation der Motzkin-Zahlen liefert die folgende Grafik anhand der vierten Motzkin-Zahl  . Man starte beim Punkt mit den Koordinaten   (also links unten) und suche so viele Wege wie möglich, um zum Punkt mit den Koordinaten   (also rechts unten) zu gelangen. Dabei darf man nur nach rechts, nach rechts oben oder nach rechts unten gehen, niemals darf man unter die x-Achse (also die unterste Linie). Es gibt 9 Möglichkeiten:
 
Es gibt somit insgesamt 9 Möglichkeiten, um von links nach rechts zu gelangen, womit die vierte Motzkin-Zahl   ist.
  • Man starte nun bei   (also links unten) und suche so viele Wege wie möglich, um zu   (also rechts unten) zu gelangen. Dabei darf man nur wie im obigen Beispiel vorgehen. Es gibt 21 Möglichkeiten:
 
Es gibt somit insgesamt 21 Möglichkeiten, um von links nach rechts zu gelangen, womit die fünfte Motzkin-Zahl   ist.
Generell erhält man die  -te Motzkin-Zahl, wenn man mit dieser Methode die Anzahl der Wege in einem Koordinatensystem von   nach   sucht.
Robert Donaghey und Louis W. Shapiro gaben im Jahr 1977 insgesamt 14 Möglichkeiten an, Motzkin-Zahlen grafisch darzustellen.[2]
  • Die folgenden Zahlen sind die kleinsten Motzkin-Zahlen   für  :
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, … (Folge A001006 in OEIS)

Motzkin-Primzahlen

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  • Eine Motzkin-Primzahl ist eine Motzkin-Zahl, die prim ist. Die folgenden Zahlen sind die kleinsten Motzkin-Primzahlen:
2, 127, 15511, 953467954114363 (Folge A092832 in OEIS)

Mehr Motzkin-Primzahlen sind nicht bekannt (Stand: 23. März 2020).

  • Die dazugehörigen Motzkin-Zahl-Indizes sind die folgenden:
2, 7, 12, 36 (Folge A092831 in OEIS)
Der nächste Index muss größer als   sein (Stand: 17. Oktober 2016).[3]

Eigenschaften

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  • Die  -te Motzkin-Zahl kann man wie folgt rekursiv aus vorhergehenden Motzkin-Zahlen berechnen:[4]
 
 
Dabei ist   die Abrundungsfunktion, also   die größte ganze Zahl, die nicht größer als   ist, und   die  -te Catalan-Zahl.
  • Die erzeugende Funktion   von Motzkin-Zahlen erfüllt die folgende Gleichung:[4]
 

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Theodore Motzkin: Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products. In: Bull. Amer. Math. Soc. Band 54, Nr. 4, 1948, S. 352–360, doi:10.1090/S0002-9904-1948-09002-4 (Volltext als PDF auf ams.org).
  2. Robert Donaghey, Louis W. Shapiro: Motzkin numbers. In: Journal of Combinatorial Theory, Series A. Band 23, Nr. 3, November 1977, S. 291–301, doi:10.1016/0097-3165(77)90020-6 (sciencedirect.com).
  3. Comments zu OEIS A092831
  4. a b Eric W. Weisstein: Motzkin Number. In: MathWorld (englisch).
  5. Jiao-Lian Zhao, Feng Qi: Two explicit formulas for the generalized Motzkin numbers. In: Journal of Inequalities and Applications. Band 2017, 2017, 44, doi:10.1186/s13660-017-1313-3 (researchgate.net).