Die Multiskalenanalyse (MRA, englisch: multiresolution analysis) oder -approximation (MSA, englisch: multiscale approximation) des Funktionenraums ist eine funktionalanalytische Grundkonstruktion der Wavelet-Theorie, welche die Approximationseigenschaften der diskreten Wavelet-Transformation beschreibt. Insbesondere erklärt sie die Möglichkeit und Funktionsweise des Algorithmus der schnellen Wavelet-Transformation.

Definition

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Eine Multiskalenanalyse des Raums L²(R) besteht aus einer Folge geschachtelter Unterräume

 ,

welche sowohl Selbstähnlichkeitbedingungen in Zeit/Raum und Skala/Frequenz als auch Vollständigkeits- und Regularitätsbedingungen erfüllt.

  • Selbstähnlichkeit in der Zeit verlangt, dass jeder Unterraum   invariant ist unter Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache von  . Dies heißt, für jede Funktion   gibt es eine Funktion   mit  .
  • Selbstähnlichkeit zwischen verschiedenen Skalen verlangt, dass alle Unterräume   zeitskalierte Kopien voneinander sind, wobei der Skalierungs- bzw. Streckungsfaktor   beträgt. Dies heißt, für jede Funktion   gibt es eine Funktion   mit  . Hat beispielsweise  einen beschränkten Träger, so ist der Träger von   um den Faktor  zusammengestaucht. Mit anderen Worten, die Auflösung (im Sinne von Punkten auf einem Bildschirm) des l-ten Unterraums ist höher als die Auflösung des k-ten Unterraums.
  • Regularität verlangt, dass der Modell-Unterraum  die lineare Hülle (algebraisch oder gar topologisch abgeschlossen) der ganzzahligen Verschiebungen einer oder endlich vieler erzeugender Funktionen   oder   ist. Diese ganzzahligen Verschiebungen sollten zumindest eine Riesz-Basis, besser aber eine Hilbert-Basis des Unterraums   bilden, woraus ein schneller Abfall im Unendlichen der erzeugenden Funktionen folgt. Letzteres ist für Funktionen mit kompaktem Träger trivialerweise erfüllt. Die erzeugenden Funktionen werden Skalierungsfunktionen oder Vaterwavelets genannt. Oft werden sie als (stückweise) stetige Funktionen mit kompaktem Träger konstruiert.
  • Vollständigkeit verlangt, dass diese geschachtelten Unterräume den gesamten Raum ausfüllen, das heißt, ihre Vereinigung   soll dicht in   sein; weiterhin, dass sie nicht redundant sind, das heißt, ihr Durchschnitt   darf nur das Nullelement enthalten.

Skalierungsfunktion

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Im praktisch wichtigsten Falle, dass es nur eine Skalierungsfunktion   mit kompaktem Träger in der MRA gibt und diese eine Hilbert-Basis im Unterraum  erzeugt, erfüllt diese eine Zwei-Skalen-Gleichung (in der engl. Literatur: refinement equation)

 .

Die dort auftretende Zahlenfolge   heißt Skalierungsfolge oder -maske und muss ein diskreter Tiefpassfilter sein, was in diesem Falle bedeutet, dass

  und  

erfüllt ist, bzw. dass die Fourierreihe

 

im Nullpunkt den Wert 1 und an der Stelle   eine Nullstelle hat,  .

Es ist eine Grundaufgabe des Wavelet-Designs, Bedingungen an   festzustellen, unter denen gewünschte Eigenschaften von  , wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit etc. folgen. Soll   orthogonal, d. h. senkrecht zu allen ganzzahligen Verschiebungen von sich selbst sein, so muss

  und  

für   gelten, mittels der Fourierreihe lautet die Bedingung  .

Üblicherweise werden diese Folgen als Koeffizientenfolgen eines Laurent-Polynoms   angegeben, das heißt  . Die Normierung schreibt sich damit als  , die Tiefpasseigenschaft als   oder   für ein  , die Orthogonalitätsbedingung als  .

Beispiele

  • Das Haar-Wavelet hat eine Skalierungsmaske  
  • Das Wavelet mit Ordnung   der Daubechies-Familie hat die Skalierungsmaske
 

Geschachtelte Unterräume

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Sei   eine orthogonale Skalierungsfunktion. Dann kann ein affines Funktionensystem   und eine Folge von Skalierungsunterräumen   definiert werden. Damit gilt dann   und   ist eine orthonormale Basis von  .

Mit einem beliebigen ungeradem   kann nun die Wavelet-Folge   definiert werden, wobei  . Damit definiert sich das Wavelet als

 

und die Waveletunterräume als

 .

Mit diesen ergibt sich eine als Fischgräte bekannte orthogonale Zerlegung der Skalierungsräume

 

und allgemein

  bei  .

Die grundlegende analytische Forderung an eine MRA ist, dass die Wavelet-Unterräume den   voll ausschöpfen, das heißt   soll ein dichter Unterraum von   sein.

Literatur

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