NOON-Zustand

Ein NOON-Zustand (Kunstwort entsprechend der Formel, s. u.) ist ein verschränkter quantenmechanischer Vielteilchenzustand. Die Bezeichnung ist insbesondere in der Quantenoptik gebräuchlich. Hier bezeichnet ein NOON-Zustand einen Überlagerungszustand von $N$ Photonen, die sich entweder alle in dem einen oder dem anderen von zwei voneinander unterscheidbaren Einteilchenzuständen befinden. Photonen, die in einem solchen Zustand präpariert werden, erlauben (für große Teilchenzahl $N$) sehr präzise Phasenmessungen und wurden daher für Anwendungen in der Quanten-Metrologie und hochaufgelösten Lithographie vorgeschlagen.

Definition

Mathematisch sind NOON-Zustände $|\psi _{\text{NOON}}\rangle$ als Vektoren im Hilbertraum ${\mathcal {F}}_{+}(\mathbb {C} ^{2})={\mathcal {F}}_{+}(\mathbb {C} )\otimes {\mathcal {F}}_{+}(\mathbb {C} )$, dem symmetrischen (bosonischen) Fockraum über zwei Moden, gegeben:

$|\psi _{\text{NOON}}\rangle ={\frac {|N\rangle _{a}\otimes |0\rangle _{b}+e^{iN\theta }|{0}\rangle _{a}\otimes |{N}\rangle _{b}}{\sqrt {2}}}$

Dieser Zustand beschreibt die Überlagerung von $N$ Teilchen in der Mode $a$ und keinem Teilchen in Mode $b$ und umgekehrt (mit relativer Phase $\theta$).

In der Praxis werden meist photonische NOON-Zustände betrachtet, aber allgemein kann jedes bosonische Feld in einem NOON-Zustand präpariert werden.

Anwendungen

NOON-Zustände wurden im Zusammenhang mit Anwendungen der Quanten-Metrologie untersucht, da sie es erlauben, mit optischen Interferometern sehr genaue Phasenmessungen durchzuführen. Zum Beispiel gilt für die Observable

$A=|N,0\rangle \langle 0,N|+|0,N\rangle \langle N,0|$

dass ihr Erwartungswert $\langle A\rangle$ für ein System im NOON-Zustand sich von $+1$ zu $-1$ verändert, wenn die Phase $\theta$ des Zustands von 0 auf $\pi /N$ anwächst. D. h. für große $N$ führt schon eine sehr kleine Phase zu einer großen Änderung der Observablen.

Für die Ungenauigkeit (Standardabweichung) der Messung von $A$ gilt:

$\Delta \theta ={\frac {\Delta A}{|d\langle A\rangle /d\theta |}}={\frac {1}{N}}.$

Diese Skalierung mit der Teilchenzahl ist das beste mit quantenmechanischen Messungen erreichbare Verhalten und wird auch als Heisenberg-Limit bezeichnet. Es stellt eine quadratische Verbesserung gegenüber den standard quantum limit ($\propto {\sqrt {N}}$) dar, das die beste mit $N$ unabhängigen (nicht verschränkten) Teilchen erreichbare Messung beschreibt.

NOON-Zustände sind eng verwandt mit Schrödinger-Katzen-Zuständen und Greenberger-Horne-Zeilinger Zuständen. Wie diese sind auch die NOON-Zustände sehr fragil: auch kleine unkontrollierte Wechselwirkungen zerstören die Kohärenz der Überlagerung und führen zu einem Verlust der vorteilhaften Eigenschaften des Zustands (Dekohärenz). Dies stellt den praktischen Nutzen von NOON-Zuständen für metrologische Zwecke in vielen realistischen Situationen in Frage.

Experimentelle Erzeugung

NOON-Zustände wurden für kleine Teilchenzahlen in verschiedenen Experimenten erzeugt, z. B. für $N=5$ mit optischen Photonen und für $N=2$ mit Mikrowellen-Photonen.

Geschichte und Terminologie

NOON-Zustände wurden von Barry Sanders im Zusammenhang mit der Untersuchung der Dekohärenz von Schrödinger-Katzen-Zuständen eingeführt und später von Jonathan P. Dowling wiederentdeckt, der sie als Grundlage der Quanten-Lithographie vorschlug. Der englische Ausdruck „NOON state“ wurde erstmals in einem Artikel von Lee, Kok und Dowling über Quanten-Metrologie verwendet (geschrieben als „N00N“, mit Nullen statt Os).