Nepersche Ungleichung

Methematik: Analysis

Die Nepersche Ungleichung (englisch Napier’s inequality) ist eine Ungleichung des mathematischen Teilgebiets der Analysis, die auf den schottischen Mathematiker John Napier (1550–1617) zurückgeht. Sie liefert elementare untere und obere Abschätzungen für den reellen natürlichen Logarithmus.[1]

Darstellung der Ungleichung

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Die Ungleichung lautet folgendermaßen:[1]

Gegeben seien zwei reelle Zahlen   und   und es gelte  .
Dann bestehen die Ungleichungen
(N)   .

Herleitung der Neperschen Ungleichung mittels Differenzialrechnung

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Für die Steigungen der Tangenten  ,   und der Sehne   gilt:

 ,

woraus unmittelbar die Nepersche Ungleichung folgt. (siehe Figur 1)

Herleitung der Neperschen Ungleichung mittels Integralrechnung

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Aus

 

folgt nach elementaren Umformungen und Stammfunktionsbildung

(N')   .

Also erhält man die Neperschen Ungleichung mittels Integralrechnung. Denn danach ist der mittlere Term von (N') nichts weiter als der Inhalt der Fläche unterhalb des Funktionsgraphs der reellen Kehrwertfunktion im Intervall  . (siehe Figur 2)

Grafische Darstellungen der beiden Herleitungen

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Die beiden Herleitungen lassen sich durch grafische Veranschaulichungen unterstützen.[2][3]

Anwendung

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Eine nützliche Anwendung der Neperschen Ungleichung ergibt sich, wenn man darin   sowie – für eine natürliche Zahl   – noch   setzt.

Dann nämlich ergibt sich wegen   und  

 

und weiter

 

und schließlich

  .

Durch Limesbildung erhält man dann

 

und es folgt aus Stetigkeitsgründen und durch Anwendung der Exponentialfunktion

  .

Verwandte Ungleichungen

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Die Nepersche Ungleichung lässt sich erheblich verschärfen. Dies zeigt etwa die Ungleichung von Hermite-Hadamard, welche die Nepersche Ungleichung nach sich zieht. Denn berücksichtigt man hier die Tatsache, dass die Einschränkung der reellen Umkehrfunktion auf das Intervall   der positiven Zahlen eine konvexe Funktion ist, so ergeben sich für   sogleich die Abschätzungen

 

und damit

  .[4]

Für den Fall, dass insbesondere   ist, hat man sogar die folgenden – und für diesen Fall besseren! – Abschätzungen:[5]

  .

Literatur

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  • Napier-Ungleichung Lexikon der Mathematik aus Spektrum der Wissenschaft, abgerufen am 25. Januar 2023

Einzelnachweise

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  1. a b Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics. 2006, S. 16
  2. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 149
  3. College Mathematics Journal, vol. 24, no. 2 (March 1993), S. 165
  4. Die vordere Ungleichung, wenn auch formuliert für die Kehrwerte, findet man in: D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 273
  5. D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 273–274