Normale Familie

In der Mathematik sind normale Familien vor allem in der Funktionentheorie und der komplexen Dynamik von Bedeutung.

Allgemeine Definition

Seien $X$ und $Y$ vollständige metrische Räume. Eine Menge $F$ stetiger Funktionen

$f\colon X\to Y$

ist eine normale Familie, wenn jede Folge in $F$ eine kompakt konvergente Teilfolge mit (dann automatisch stetiger) Grenzfunktion $f_{\infty }$ enthält.

Es hat also jede Folge $(f_{n})_{n}$ in $F$ eine Teilfolge $(f_{n_{k}})_{k}$ mit

$\lim _{k\to \infty }\sup _{x\in K}d_{Y}(f_{n_{k}}(x),f_{\infty }(x))=0$

für alle kompakten Teilmengen $K\subset X$.

Normale Familien in der Funktionentheorie

In der Funktionentheorie wählt man im Allgemeinen als Definitionsbereich $X$ ein Gebiet in $\mathbb {C}$ und als Zielraum $Y$ die Riemannsche Zahlenkugel, versehen mit der chordalen Metrik. Aus dem Weierstraßschen Konvergenzsatz folgt, dass der Grenzwert einer kompakt konvergenten Folge holomorpher Funktionen wieder holomorph oder konstant gleich $\infty$ ist.

Der kleine Satz von Montel besagt, dass eine lokal gleichmäßig beschränkte Familie holomorpher Funktionen normal ist. Nach dem großen Satz von Montel ist eine Familie holomorpher Funktionen normal, wenn es $a,b\in \mathbb {C}$ mit $a\neq b$ gibt, so dass keine Funktion der Familie einen der Werte $a$ oder $b$ annimmt.

Literatur

• Paul Montel: Sur les familles normales des fonctions analytiques, Ann. ENS 33, 233-302 (1916).
• Joel Schiff: Normal families. Springer, 1993, ISBN 978-1-4612-0907-2
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer, 2007, ISBN 3540404325