Riemannsche Zahlenkugel

In der Mathematik ist die Riemannsche Zahlenkugel ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ die Riemannsche Fläche, die sich aus der Hinzunahme eines Punktes in der Unendlichkeit zu der komplexen Ebene ergibt. Anschaulich gesehen wird die Ebene der komplexen Zahlen an einem Punkt zu einer Kugel zusammengeklebt. Sie ist der erste nichttriviale komplexe projektive Raum und geht zurück auf Bernhard Riemann.

Auf der riemannschen Zahlenkugel sind die komplexen Zahlen einschließlich ∞ darstellbar.

stereographische Rückprojektionen der komplexen Zahlen $A$ und $B$ auf die Punkte $\alpha$ und $\beta$ der riemannschen Zahlenkugel

Topologie und komplexe Struktur

Die Topologie auf ${\hat {\mathbb {C} }}$ wird folgendermaßen erzeugt: Man bezeichnet mit $P:S^{2}\to {\hat {\mathbb {C} }}$ die stereographische Projektion durch den Nordpol und bildet zusätzlich $\infty$ auf den Nordpol ab, d. h.

$P(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{cases}{\frac {x_{1}}{1-x_{3}}}+\mathrm {i} {\frac {x_{2}}{1-x_{3}}}&x\neq (0,0,1),\\\infty &x=(0,0,1).\end{cases}}$

$P$ ist invertierbar, da die stereographische Projektion invertierbar ist und man $P^{-1}(\infty )=(0,0,1)$ hat. Die Funktion $\chi :{\hat {\mathbb {C} }}^{2}\to \mathbb {R}$, gegeben durch

$\chi (x,y)=\lVert P^{-1}(x)-P^{-1}(y)\rVert _{2},$

definiert eine Metrik auf ${\hat {\mathbb {C} }}$ und heißt chordale Metrik. Durch die von der Metrik erzeugten Topologie sind $P$ und $P^{-1}$ stetig. Daher ist ${\hat {\mathbb {C} }}$ homöomorph zu $S^{2}$, woher die Bezeichnung Zahlenkugel rührt.

Die komplexe Struktur der Riemannschen Zahlenkugel wird durch zwei Karten gegeben. Die erste ist auf $\mathbb {C}$ definiert und ist die Identität. Die zweite ist auf der Umgebung $[\mathbb {C} \cup \{\infty \}]\setminus \{0\}$ des unendlich fernen Punkts definiert durch

$z\mapsto {\begin{cases}{\frac {1}{z}},&{\text{falls }}z\in \mathbb {C} ,\\0,&{\text{falls }}z=\infty .\end{cases}}$

Rechenregeln

Auf der Riemannschen Zahlenkugel wendet man im Wesentlichen dieselben Rechenregeln wie auf den komplexen Zahlen an. Daneben gelten noch folgende Regeln: So ist z. B. zwar der Grenzwert von $1/x$, wobei $x$ eine positive reelle Zahl ist, die gegen $0$ geht, eine gerichtete Unendlichkeit mit dem komplexen Argument $0$ Für alle komplexen $z,w\neq 0$ und alle reellen $x\neq 0$ gilt:

• $z\cdot \infty =\arg(z)\cdot \infty$
• $0\cdot \infty$ bleibt undefiniert, ebenso ${\frac {z\ \infty }{w\ \infty }}$
• $x\cdot z\cdot \infty =\operatorname {sgn}(x)\cdot \arg(z)\cdot \infty$
• $(w\cdot \infty )\cdot (z\cdot \infty )=\arg(w\cdot z)\cdot \infty$

Hier ist $\arg$ die durch $\arg(z):={\frac {z}{\left|z\right|}}$ für alle komplexen Zahlen $z\neq 0$ erklärte Argumentfunktion und $\operatorname {sgn}$ ist die für alle reellen Zahlen definierte Vorzeichenfunktion.

Eigenschaften und Anwendungen

• Topologisch ist diese geschlossene Riemannsche Fläche vom Geschlecht $0$ bis auf Homöomorphie eindeutig, das gilt aber nicht für Biholomorphie, d. h. es ließe sich noch eine andere komplexe Struktur finden.
• Auf Basis des Satzes von Riemann-Roch kann man zeigen, dass jede kompakte Riemannsche Fläche eine Einbettung in einen projektiven Raum besitzt. Des Weiteren lässt sich dann zeigen, dass jede Riemannsche Fläche biholomorph zu einer projektiven Varietät der Dimension $1$ ist, d. h. Riemannsche Flächen lassen sich als Nullstellenmenge von homogenen Polynomen darstellen.
• Die Automorphismen, also die biholomorphen Abbildungen der riemannschen Zahlenkugel auf sich selbst, bilden die Gruppe der Möbiustransformationen.
• Eine meromorphe Funktion kann man als eine holomorphe Funktion in die Riemannsche Zahlenkugel interpretieren.
• Die verzweigten Überlagerungen über der Riemannschen Zahlenkugel führen zur Theorie der Hurwitz-Zahlen.

Siehe auch

• Projektiver Raum

Literatur

• Otto Forster: Riemannsche Flächen, Springer Berlin Heidelberg, 1977.
• Klaus Lamotke: Riemannsche Flächen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009.

Weblinks

• Erklärung von Klaus Hefft (Institut für Theoretische Physik, Uni-Heidelberg)