Numerische Funktion

Eine numerische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, deren Funktionswerte erweiterte reelle Zahlen, also reelle Zahlen eingeschlossen $-\infty$ und $+\infty$, sind.

Betrachtet man eine Folge reeller Funktionen, so sind deren Supremum und deren Infimum im Allgemeinen nicht reell. In der Maßtheorie betrachtet man daher numerische Funktionen.

Definition

Sei $\Omega \neq \emptyset$ und bezeichne ${\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}$ den Abschluss der Menge der reellen Zahlen. Eine Funktion

$f\colon \Omega \to {\bar {\mathbb {R} }}$

heißt numerische Funktion.

Bemerkungen

Jede reellwertige Funktion $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ist eine numerische Funktion, ebenso wie die erweiterten Funktionen.

Beispiele

• Die konstante Funktion $f\colon \Omega \to {\bar {\mathbb {R} }}$ mit $f(\omega )\colon =c$, wobei $c\in {\bar {\mathbb {R} }}$ also auch als $+\infty$ bzw. $-\infty$ definiert werden kann.
• Die Funktion

$f:\mathbb {R} \rightarrow {\bar {\mathbb {R} }},f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x^{2}}},&{\text{falls }}x\not =0\\+\infty ,&{\text{falls }}x=0\end{cases}}$

ist eine numerische Funktion. Mit der üblichen Definition der Konvergenz gegen ∞ ist sie sogar stetig.

Literatur

• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21026-6, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.