Ober- und Unterlösung

In der Mathematik werden Ober- und Unterlösungen (engl.: super solutions und sub solutions) zur qualitativen Analyse von (nicht explizit lösbaren) Differentialgleichungen verwendet.

Definition

Eine Oberlösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung $x^{\prime }=f(t,x)$ ist eine differenzierbare Abbildung $x_{+}\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ mit

$x_{+}^{\prime }>f(t,x_{+}(t))$

für alle $t\in (a,b)$.

Eine Unterlösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung $x^{\prime }=f(t,x)$ ist eine differenzierbare Abbildung $x_{-}\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ mit

$x_{-}^{\prime }<f(t,x_{-}(t))$

für alle $t\in (a,b)$.

Beispiel

Für die Differentialgleichung

$x^{\prime }(t)=x(t)^{2}-t^{2}$

ist $x_{+}(t)=t$ eine Oberlösung wegen

$x_{+}^{\prime }(t)=1>0=x_{+}(t)^{2}-t^{2}$

und $x_{-}(t)=-t$ eine Unterlösung wegen

$x_{-}^{\prime }(t)=-1<0=x_{-}(t)^{2}-t^{2}$.

Weiter ist $x_{+}(t)=-{\sqrt {t^{2}-2}}$ eine Oberlösung wegen

$x_{+}^{\prime }(t)=-{\frac {t}{\sqrt {t^{2}-2}}}>-2=x_{+}(t)^{2}-t^{2}$

und $x_{-}(t)={\sqrt {t^{2}-2}}$ eine Unterlösung wegen

$x_{-}(t)^{\prime }={\frac {t}{\sqrt {t^{2}-2}}}<2=x_{-}(t)^{2}-t^{2}$.

Vergleichssatz

Der Vergleichssatz für Ober- und Unterlösungen besagt:

a) Wenn $x_{+}\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ eine Oberlösung der Differentialgleichung $x^{\prime }(t)=f(t,x(t))$ mit $x_{+}(t_{0})\geq x_{0}$ für ein $t_{0}\in (a,b),x_{0}\in \mathbb {R}$ ist, dann gilt für jede Lösung $x\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ des Anfangswertproblems $x^{\prime }(t)=f(t,x(t)),x(t_{0})=x_{0}$ die Ungleichung

$x(t)<x_{+}(t)$

für alle $t>t_{0}$.

b) Wenn $x_{-}\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ eine Unterlösung der Differentialgleichung $x^{\prime }(t)=f(t,x(t))$ mit $x_{-}(t_{0})\leq x_{0}$ für ein $t_{0}\in (a,b),x_{0}\in \mathbb {R}$ ist, dann gilt für jede Lösung $x\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ des Anfangswertproblems $x^{\prime }(t)=f(t,x(t)),x(t_{0})=x_{0}$ die Ungleichung

$x(t)>x_{-}(t)$

für alle $t>t_{0}$.

Beweis: Setze $\Delta (t)=x_{+}(t)-x(t)$ für a) bzw. $\Delta (t)=x(t)-x_{-}(t)$ für b). Dann ist $\Delta (t_{0})\geq 0$ und in Punkten mit $\Delta (t)=0$ muss $\Delta ^{\prime }(t)>0$ sein. Der Graph von $\Delta$ kann die $t$-Achse also nur von unten nach oben kreuzen, was aber wegen $\Delta (t_{0})\geq 0$ nicht möglich ist. Also gilt $\Delta (t)>0$ für alle $t>t_{0}$.

Literatur

• G. Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics Bd. 140, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0