Ein Ordnungspotenzial oder eine Ordnungspotenzialfunktion ist in der Spieltheorie eine spezielle Funktion auf der Menge der Strategiekombinationen eines Spiels. Durch diese Funktion werden die Strategiekombination nach ihrer Auszahlung an die Spieler angeordnet. Eine Strategiekombination besitzt dabei genau dann einen höheren Wert, wenn sie für jeden Spieler zu einer höheren Auszahlung führt. Indem man Ordnungspotenzialfunktion strenger an die Auszahlungsfunktionen bindet, erhält man die Spezialfälle des gewichteten Potenzials und des exakten Potenzials. Letzteres wird auch einfach nur als Potenzial oder Potenzialfunktion bezeichnet.

Die meisten Spiele besitzen allerdings kein Ordnungpotenzial. Von Dov Monderer wurden deshalb 1988 bzw. 1996 die folgenden Klassen von Spielen eingeführt:[1]

  • Spiel mit Ordnungspotenzial
  • Spiel mit gewichtetem Potenzial
  • Spiel mit (exaktem) Potenzial

Eine Potenzialfunktion wurde bei Spielen erstmals 1973 von Robert W. Rosenthal eingesetzt, um zu zeigen, dass Auslastungsspiele ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien besitzen.[2]

Definition

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Bei allen drei Definitionen sei   ein Spiel in Normalform. Weiter sei   ein beliebiges aber festes Strategieprofil und   das Profil, das durch den Wechsel der Strategie eines Spielers   von   zu   entsteht.

Ordnungspotenzial

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Eine Ordnungspotenzialfunktion   ist eine Funktion  , für die gilt, dass

 

Gewichtetes Potenzial

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Eine gewichtete Potenzialfunktion   ist eine Funktion   bei der für jeden Spieler   eine Zahl   existiert, sodass stets gilt, dass

 

In diesem Fall nennt man   ein gewichtetes Potenzialspiel. Die Gewichte   bilden einen Vektor  . Kennt man diese Zahlen, so nennt man   ein  -Potenzial und spricht von einem Spiel mit  -Potenzial.

Exaktes Potenzial

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Eine (exakte) Potenzialfunktion   ist eine Funktion   für die gilt, dass

 

Die exakte Potenzialfunktion ist also ein Spezialfall einer gewichteten Potenzialfunktion, bei der alle Gewichte   sind. Es gilt, dass jedes Auslastungsspiel eine exakte Potentialfunktion hat, umgekehrt ist jedes endliche Spiel, welches eine exakte Potentialfunktion besitzt, isomorph zu einem Auslastungsspiel.[1]

Eigenschaften

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Jedes endliche Spiel mit Ordnungspotenzial besitzt ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien.

Zwei Potenzialfunktionen   und   eines Spiels unterscheiden sich nur durch eine Konstante:

 

Das bedeutet, dass für zwei Strategiekombinationen   und   gilt

 
  1. a b Dov Monderer, Lloyd S. Shapley: Potential Games. In: Games and Economic Behavior 14, 1996, S. 124–143. doi:10.1006/game.1996.0044.
  2. Robert W. Rosenthal: A Class of Games Possessing Pure-Strategy Nash Equilibria. In: International Journal of Game Theory. Nr. 2, 1973, S. 65–67. doi:10.1007/BF01737559.