Problem von Bernstein

Mathematisches Problem

In der Mathematik bezeichnet man als Problem von Bernstein die Fragestellung, ob der Graph einer Funktion nur dann eine Minimalfläche im ist, wenn die Funktion affin ist. Die Antwort ist positiv für , aber negativ für .

Mathematische Formulierung

Bearbeiten

Für eine Funktion   ist ihr Graph eine Hyperfläche im   und er ist genau dann eine Minimalfläche, wenn   eine Lösung der Differentialgleichung

 

ist. Offensichtlich sind alle affinen Funktionen   Lösungen dieser Differentialgleichung, weil in diesem Fall   eine Konstante ist. Das Problem von Bernstein fragt, ob es darüber hinaus noch weitere Lösungen dieser Differentialgleichung gibt.

Historie

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. S. N. Bernstein, Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique, Comm. Soc. Math. Kharkov, Band 15, 1915–1917, S. 38–45
  2. E. De Giorgi, Una estensione del teorema di Bernstein. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 19, 79–85, 1965.
  3. F. Almgren, Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of the Bernstein's theorem, Ann. of Math., Band 85, 1966, S. 277–292
  4. J. Simons, Minimal varieties in Riemannian Manifolds, Annals of Mathematics, Band 88, 1968, S. 62–105.
  5. E. Bombieri, E. De Giorgi, E. Giusti, Minimal cones and the Bernstein problem, Inventiones Mathematicae 7 (1969) 243–268