Quadratsummen-Funktion

Die Quadratsummen-Funktion (engl. sum of squares function) $r_{k}(n)$ ist eine zahlentheoretische Funktion, die angibt, auf wie viele Arten eine gegebene natürliche Zahl $n$ als Summe von $k$ Quadraten ganzer Zahlen dargestellt werden kann, wobei alle Vertauschungen und Vorzeichenkombinationen mitgezählt werden.

Definition

Die ersten Werte von r_k (Primzahlen mit hellblauen Hintergrund)

n	n	r1(n)	r2(n)	r3(n)	r4(n)	r5(n)	r6(n)	r7(n)	r8(n)
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	4	6	8	10	12	14	16
2	2	0	4	12	24	40	60	84	112
3	3	0	0	8	32	80	160	280	448
4	22	2	4	6	24	90	252	574	1136
5	5	0	8	24	48	112	312	840	2016
6	2‧3	0	0	24	96	240	544	1288	3136
7	7	0	0	0	64	320	960	2368	5504
8	23	0	4	12	24	200	1020	3444	9328
9	32	2	4	30	104	250	876	3542	12112
10	2‧5	0	8	24	144	560	1560	4424	14112
11	11	0	0	24	96	560	2400	7560	21312
12	22‧3	0	0	8	96	400	2080	9240	31808
13	13	0	8	24	112	560	2040	8456	35168
14	2‧7	0	0	48	192	800	3264	11088	38528
15	3‧5	0	0	0	192	960	4160	16576	56448
16	24	2	4	6	24	730	4092	18494	74864
17	17	0	8	48	144	480	3480	17808	78624
18	2‧32	0	4	36	312	1240	4380	19740	84784
19	19	0	0	24	160	1520	7200	27720	109760
20	22‧5	0	8	24	144	752	6552	34440	143136

Die Funktion ist für alle $n\in \mathbb {N} _{\geq 0}$ und $k\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ definiert als

$r_{k}(n):=\sum _{\begin{array}{c}a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}=n\\(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\end{array}}1={\big |}\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\mid a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}=n\right\}{\big |},$

d. h. als Anzahl der Darstellungsmöglichkeiten von $n$ als Summe von $k$ Quadraten ganzer Zahlen mit $k\geq 1$. (Für $r_{2}$ wird oft nur $r$ geschrieben.) Beispielsweise gilt

$r_{k}(0)=1$

für alle $k$. Es ist

$r_{2}(1)=4$,

da $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ mit jeweils 2 Vorzeichenkombinationen gilt, und auch

$r_{2}(2)=4$

wegen $2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}$ mit 4 Vorzeichenkombinationen. Andererseits ist

$r_{2}(3)=0$,

weil es keine Darstellung der Zahl 3 als Summe von 2 Quadraten gibt.

Aus der Definition folgt sofort die Beziehung

$r_{k+m}(n)=\sum _{t=0}^{n}r_{k}(t)\ r_{m}(n-t),$

aus der sich eine Rekursionsformel zur effizienten Berechnung ableiten lässt:

$r_{k+1}(n)=r_{k}(n)+2\sum _{t=1}^{\sqrt {n}}r_{k}(n-t^{2}).$

Durchschnittliche Größenordnung

Es sei

$R_{k}(x):=\sum _{n=0}^{x}r_{k}(n)=\sum _{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dotsb +a_{k}^{2}\leq x}1$.

Das ist anschaulich die Anzahl der (ganzzahligen) Gitterpunkte in einer $k$-dimensionalen Kugel mit dem Radius ${\sqrt {x}}$ und darum näherungsweise gleich dem Kugelvolumen. Genauer lässt sich rekursiv ableiten

$R_{k}(x)=V_{k}x^{\frac {k}{2}}+O(x^{\frac {k-1}{2}})$,

wobei $O(.)$ das Landau-Symbol ist und die Konstanten $V_{k}$ die Volumina der $k$-dimensionalen Einheitskugeln sind:

$V_{2}=\pi ,\;V_{3}={\frac {4}{3}}\pi ,\;V_{4}={\frac {1}{2}}\pi ^{2},\;\dots$

Die durchschnittliche Größenordnung von $r_{k}(n)$ ist damit ${\tfrac {k}{2}}V_{k}x^{{\tfrac {k}{2}}-1}$, also z. B. $\pi$ die von $r_{2}(x)$.

Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion erhält man als Potenz der Jacobischen Thetafunktion $\vartheta (z,q)$ für den Spezialfall $z=0$. Dafür gilt

$\vartheta _{3}(q):=\vartheta (0,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\dotsb$

Man erhält daraus

$(\vartheta _{3}(q))^{k}=\sum _{n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k}}q^{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\dotsb +n_{k}^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}\sum _{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\dotsb +n_{k}^{2}=n}1=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}\ r_{k}(n)$.

Spezielle Fälle

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₂(n)

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₄(n)

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₈(n)

Einige spezielle Formeln sind z. B. (für $n>0$):

Für $k=2$ gilt:

$r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}}(-1)^{(d-1)/2}$

Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung $n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots$, wobei $p_{i}$ die Primfaktoren der Form $p_{i}\equiv 1{\pmod {4}}$ und $q_{i}$ die Primfaktoren der Form $q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}$ sind, ergibt sich als weitere Formel

$r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots$,

wenn alle Exponenten $h_{1},h_{2},\dotsc$ gerade sind. Ist mindestens ein $h_{i}$ ungerade, dann ist $r_{2}(n)=0$. Nach Definition ist $r_{2}(n)$ auch die Anzahl der Gaußschen Zahlen mit der Norm $n$.

Für $k=3$ bewies Gauß eine Formel für quadratfreie Zahlen $n>4$

$r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{wenn }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{wenn }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{sonst}},\end{cases}}$

wobei $h(m)$ die Klassenzahl einer ganzen Zahl $m$ bezeichnet.

Für beliebige $n>0$ gilt nach dem Drei-Quadrate-Satz $r_{3}(n)=0$ genau dann, wenn $n$ sich in der Form $n=4^{a}(8b+7),a\geq 0,b\geq 0$ darstellen lässt.

Die Formel für $k=4$ stammt von Carl Gustav Jacob Jacobi und liefert $r_{4}(n)$ als achtfache Summe aller Teiler von $n,$ die nicht durch 4 teilbar sind (Satz von Jacobi):

$r_{4}(n)=8\sum _{d\mid n;4\nmid d}d$

Für alle Primzahlen $p$ gilt damit speziell $r_{4}(p)=8(p+1)$ und für alle Zweierpotenzen $r_{4}(2^{k})=24,\;k\geq 1$. $r_{4}(n)$ ist auch die Anzahl aller Lipschitz-Quaternionen mit der Norm $n$.

Für die Anzahl der Darstellungen von $n$ durch $2s$ Quadrate für $s\geq 3$ gibt es ganz analoge Formeln. So ist z. B.

$r_{6}(n)=16\sum _{d\mid n}\chi ({\tfrac {n}{d}})d^{2}-4\sum _{d\mid n}\chi (d)d^{2}=4\sum _{d\mid n}[4\chi ({\tfrac {n}{d}})-\chi (d)]d^{2}$,

wobei $\chi (d)=+1,-1,0$ ist, je nachdem $d$ von der Form $4k+1,4k-1,2k$ ist.

Jacobi fand auch eine explizite Formel für $k=8$:

$r_{8}(n)=16\sum _{d\mid n}(-1)^{n+d}d^{3}$

Beziehung zur Sierpiński-Konstanten

Der Limes

$K:=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {r_{2}(k)}{k}}-\pi \log n\right)$

existiert und wird (nach Wacław Sierpiński) als Sierpiński-Konstante bezeichnet. Diese lässt sich durch die Kreiszahl, die Euler-Mascheroni-Konstante und die Gammafunktion ausdrücken:

$K=\pi (2\gamma +4\log \Gamma ({\tfrac {3}{4}})-\log \pi )$

Siehe auch

• Hurwitzquaternion
• Zwei-Quadrate-Satz, Drei-Quadrate-Satz, Vier-Quadrate-Satz
• Zahlentheoretische Funktion

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Sum of Squares Function. In: MathWorld (englisch).