Quaternionische Darstellung

In der Mathematik sind quaternionische Darstellungen ein Konzept der Darstellungstheorie, das unter anderem in der Spingeometrie Anwendung findet.

Definition

Eine quaternionische Darstellung ist eine (komplexe) Darstellung $V$ einer Gruppe $G,$ die einen $G$-invarianten Homomorphismus $J\colon V\to V$ besitzt, der antilinear ist und $J^{2}=-{\text{Id}}$ erfüllt.
Der komplexe Vektorraum hat also eine durch die komplexe Zahl $i$ sowie $j:=J$ und $k=ij$ definierte Struktur eines quaternionischen Vektorraums. Eine quaternionische Darstellung definiert also einen Gruppenhomomorphismus $\rho \colon G\to GL(V,\mathbb {H} )$.

Beispiel

Drehungen des 3-dimensionalen Raumes können durch Quaternionen beschrieben werden. Das definiert eine quaternionische Darstellung

$\rho \colon Spin(3)\to GL(1,\mathbb {H} )$

der Spingruppe $Spin(3)$.

Allgemein sind die Spinor-Darstellungen der Spingruppe $Spin(d)$ quaternionische Darstellungen für $d=8k+3,d=8k+4$ und $d=8k+5$ mit $k\in \mathbb {N}$.

Charakterisierung quaternionischer Darstellungen

Eine schiefsymmetrische nicht-ausgeartete $G$-invariante Bilinearform definiert eine quaternionische Struktur auf $V.$

Umgekehrt gibt es zu jeder quaternionischen Darstellung eine $G$-invariante schiefsymmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform auf $V$. Für irreduzible Darstellungen ist diese Bilinearform eindeutig bis auf Skalierung.

Eine irreduzible Darstellung $V$ ist genau eine der folgenden:

• komplex: der Charakter$\chi _{V}$ ist nicht reellwertig und $V$ hat keine $G$-invariante nicht-ausgeartete Bilinearform
• reell: $V=V_{0}\otimes \mathbb {C} ,$ eine reelle Darstellung; $V$ hat eine $G$-invariante symmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform
• quaternionisch: der Charakter $\chi _{V}$ ist reell, aber $V$ ist keine reelle Darstellung; $V$ hat eine $G$-invariante schiefsymmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform.

Literatur

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8 ISBN 978-0-387-97527-6
• Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90190-6

Weblinks

• Ganev: Real and quaternionic representations of finite groups